大学の期末試験直前で、急いでます。数学の問題教えてください。

質問

Ｍｐ＝２＾p－１が素数の時（つまり、メルセンヌ数の時）
ｎ＝２＾(P-1)×(2^p-1)は完全数であることを証明せよという問題が出たのですが、証明方法がわかりません。　　　　　　　　　　　　　　あと、ユークリッドの互除法を応用して、2346/3451を約分せよ、という問題もでたのですが、やり方がよくわかりません。　
最後に、Fｎ＝２＾２＾ｎ＋１（フェルマー数）は素数かという問題が出たのですが、どのように証明すれば良いかわかりません。
文系学部在籍の者なので、わかりやすく教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

試験直前…ということは、過去問対策中に出会った問題でしょうか。
試験直前になって、二問目をネットで質問している理解度であれば、
その問題を自力で考えられるようになるには、多少の時間がかかる
でしょう。目前の試験には、間に合わないかもしれません。
文系対象の講座で、三問目が過去問にあるようなら、出題年度には
三問目の内容が丸々講義に出てた…要するに、これは出席点問題で
あった可能性が高いと思います。
今年の講義ノートを（友人にコピーさせてもらいましたか？）よく
読んでおくと、何か良いことがあるかも。

回答No.2

kumipapa

＞　ｎ＝２＾(P-1)×(2^p-1)は完全数であることを証明せよ
Mp = 2^p - 1 が素数なのだから、 n = 2^(p-1) Mp の約数は 2^k, k=0,1,...,p-1 と Mp 2^k, k=0,1,...,p-1
2^(p-1) Mp 自身を除いた約数の総和を取れば
Σ[k=0,p-1] 2^k + Σ[k=0,p-2]2^k Mp
= 2^p - 1 + Mp { 2^(p-1) - 1 }
(Mp = 2^p - 1 より)
= Mp + Mp 2^(p-1) - Mp
= Mp 2^(p-1)
よって、2^(p-1) Mp は完全数

＞　2346/3451を約分せよ
ふざけるなという感じです。教科書を読む。

＞　Fｎ＝２＾２＾ｎ＋１（フェルマー数）は素数か
例えば n = 5 のとき素数ではなく、641（だと思った）が素因数になる。
フェルマー数を習った時点で習っているはず。

全て教科書などに載ってませんか？または講義でやったか。
文系とか理系とかは全く無関係。
できれば単位取れるし、できなきゃ取れないだけだし、取らせるべきでないだけのこと。
単位が欲しいなら、もう少し「まともに」かつ「自分で」勉強しましょう。
数学いらないならやめりゃいいじゃん。

回答No.1

R_Earl

> Ｍｐ＝２＾p－１が素数の時（つまり、メルセンヌ数の時）
> ｎ＝２＾(P-1)×(2^p-1)は完全数であることを証明せよという問題が出たのですが、証明方法がわかりません。

方針としては、nが完全数かどうかを実際に確かめます。

n
= 2^(p-1)×(2^p-1)
= 2^(p-1) × Mp

つまりnの素因数は2とMpになります(Mpは素数なので)。
ここからnの約数は(2^a) × (Mp^b) （a = 0 ～ p-1, b = 0 ～ 1）
と表せます。

「nが完全数」とは、『nの約数(n自身を除く)の和が、nになる』ということです。
なので、実際にこれを計算してみれば良いです。
nの約数(nを含める)の総和の計算式は以下の通りです。

Σ[b = 0 ～ 1] ( Σ[a = 0 ～ (p-1)] ( (2^a) × (Mp^b) ) )

この式の計算結果からnを引いてあげると、『nの約数(n自身を除く)の和』となりますよね。
この計算結果がnと一致すれば、それで証明終了です。

> ユークリッドの互除法を応用して、2346/3451を約分せよ、という問題もでたのですが、やり方がよくわかりません。　

互助法なので、大きい方から小さい方をどんどん引いてみてください。

2346, 3451
→ 2346, 1105
→ 1241, 1105
→ 136, 1105
→ …

片方が0になるまで、引き続けて下さい。
片方が0になったとき、残ったもう1方の数で2346/3451を約分できます。

> 最後に、Fｎ＝２＾２＾ｎ＋１（フェルマー数）は素数かという問題が出たのですが、どのように証明すれば良いかわかりません。

n = 5で素数ではなくなるようですが、どうやって証明するかは知りません。
これほど大きい数だと、因数分解できる数を探すのも大変です。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございます。