多変数関数？

質問

a,b∈R^N,0<ε1<ε2,||a-b||=ε1+ε2,

A:={x∈R^N:||x-a||=||x-b||}

とする。このとき

A∩B(a,ε1)=not0かつA∩B(b,ε2)≠not0

が成り立つことを示せ。ここで、B(y,ε)={z∈R^N:||y-z||<ε}とする。

どうやって示せばいいか全然分かりません。お願いしますm(_ _)m

回答No.5

kup3kup3 · ベストアンサー

こんばんは。何度も回答してすみません。
質問QNo.4136832をかってに、変更解釈して
「a,b∈R^N,0<ε1<ε2,||a-b||=ε1+ε2,
A:={x∈R^N:||x-a||=||x-b||}
とする。空集合をΦで表すことにする。このとき、
A∩B(a,ε1)=ΦかつA∩B(b,ε2)≠Φ
が成り立つことを示せ。ここで、B(y,ε)={z∈R^N:||y-z||<ε}とする。」
と変えてしまったものに回答します。
[命題1]
任意のx∈R^Nに対して、次の不等式が成立する。
||x-a||＋||x-b||≧ε1+ε2　・・・(＊)
「証明」距離空間　R^Nの三角不等式より、
||aーx||＋||x-b||≧||aーb||　であるが、（a-x＋x-b＝a-bだから）
条件||a-b||=ε1+ε2から||xーa||＋||x-b||≧ε1+ε2　となる。　
（[命題1]の証明終わり）
[命題2]　
　(ε1+ε2)/2<ε2
「証明」ε1<ε2よりなりたつ　（　[命題2]の証明終わり）
まず、
(1)　A∩B(a,ε1)=Φを示します。
　背理法で証明します。もし、A∩B(a,ε1)≠Φと仮定すれば、
　あるx1∈R^Nが存在してx1∈A,　かつ　x1∈B(a,ε1)
　となる。x1∈A　より、||x1-a||=||x1-b||・・・（ア）
　　　x1∈B(a,ε1)より、||x1-a||<ε1　・・・（イ）
（ア）を[命題1]の（＊）に代入して、
　　２||x1-a|||≧ε1+ε2　・・・（ウ）。ところが。（イ）から。
　　２ε1>２||x1-a||　・・・（エ）。（ウ）、（エ）より、
　２ε1≧ε1+ε2　→　ε1≧ε2　となって条件ε1<ε2に矛盾する。　　
　よって、A∩B(a,ε1)=Φが示された。
次に
(2)　A∩B(b,ε2)≠Φ　を示します。一つでもA∩B(b,ε2)の要素が
　あることをいえばよい。
[命題3]
　(a+b)/2∈A∩B(b,ε2)が成り立つ。
「証明」
　(a+b)/2∈A　・・・(オ)、かつ(a+b)/2∈B(b,ε2)　・・・(カ)
　をいえばよい。　まず、
(オ)を示そう。
　　　||(a＋b)/2-a||=(||(b－a)||)/2=(ε1+ε2)/2　・・・(キ)
　　　||(a＋b)/2－b||=(||(a－b)||)/2=(ε1+ε2)/2　・・・(ク)
　（キ）、（ク）より、||(a＋b)/2-a||=||(a＋b)/2－b||　よって
　　(a+b)/2はAに属す条件を満たす。ゆえに　(a+b)/2∈A
　　つまり(オ)が示された。
次に（カ）を示そう。
　　||(a＋b)/2－b||<ε2　・・・(ケ)をいえばよい。
　ところが、(ク)から||(a＋b)/2－b||=(ε1+ε2)/2　・・・（コ)
　　　ここで、[命題2]より、　(ε1+ε2)/2<ε2　・・・(サ)
　(コ)(サ)より、||(a＋b)/2－b||<ε2　つまり(ケ)がいえた。
　よって、(a+b)/2∈B(b,ε2)　ゆえに(カ)が示された。
　（[命題3]の証明終わり）
以上(1)(2)から、私がかってに変更した問題がとけました。
P.S
もし、私が回答ANO４で述べたように、
あなたの問題が「A∩B(a,ε2)≠ΦかつA∩B(b,ε1)=Φ」
の場合だったら、上の私の解法で、aとbを交換して下さい。

お礼

何度も回答して下さって有り難うございましたm(_ _)m
そして大変返信送れて申し訳ないです。
回答は締め切りますがゆっくり考えてみます＞＜

回答No.4

kup3kup3

すみません。私の回答ANO.3で
>2つの円はabの中点　(a+b)/2で外接しています。
は、間違いで正しくは
最初の問題では「2つの円は線分ab上で外接し、その点は
線分ab上にあり、で中点(a+b)/2よりも、点ａに近い方の点である」と
訂正しておきます。
すみませんでした。

回答No.3

kup3kup3

>not0は空集合でないということです。
と、ありますから、。もしかしたら
「A∩B(a,ε2)=not0かつA∩B(b,ε1)≠not0」
の様に、問題がなっていませんか。
それから、
最初の回答で、図を書くと、
2つの円はabの中点　(a+b)/2で外接しています。
◎補足
R^Nの点ｘ，ｙは座標がN個あるので、
「ｘ，ｙはベクトル」と考えて、ｘ－ｙはベクトルの引き算
をしたもので、また「ベクトルであると同時にR^Nの点」でもあります。
(a+b)/2も「ベクトルであると同時にR^Nの点」でもあります。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。御返事ありがとうがざいます。
>　a>0、a<0<b、b<0の場合を考えてみましたが||a-b||のことですよね？
まず、ａ，ｂはN次元空間の点だから、a>0、a<0<b、b<0
などと考えてはいけません。平面でも座標が２つあるので・・・
◎これは、そうではなく、||a-b||は「点aと点bとの距離」です。

だから、「||a-b||=線分abの長さ」と考えられます。
||a-b||=ε1+ε2から「線分abの長さはε1+ε2」です。

◎一般にN次元空間　R^Nにおいて、
　||x-a||は、「点ｘと点aとの距離」を表します。
また、
>すいません、なぜこうなるのでしょう？
問題が集合ＡとB(a,ε1)，集合ＡとB(a,ε2)との
共通部分を考えているからです。

次に　B(y,ε)={z∈R^N:||y-z||<ε}
について説明します。
定義から、yは固定した点で
||y-z||はｚとyの距離です。
||y-z||<εは、zがｙからの距離がεより短い点ｚの集まり
ですから、
「B(y,ε)は『yを中心』とした円の内部で境界は含まない」
となります(平面では）。

よって　B(a,ε1)={z∈R^N:||ｚ－ａ||<ε1}
は点aを中心とした半径ε1の開円板となります。
（高校で学習した「不等式と領域」の内容を思い出して下さい。）

B(a,ε1)={z∈R^N:||ｚ－ａ||<ε1}は
点ａの開近傍ともいいます。

◎　||a-b||=ε1+ε2で、かつ
　0<ε1<ε2　から線分abの中点（ａ＋ｂ）／2を
考えることがポイント。
◎なお蛇足として
平面ではC(a,ε)={z∈R^N:||ｚ－ａ||=ε}と
定義すれば、これは点中心a、半径εの円です。
◎　あと、問題の「=not0」「≠not0」でかきかた
の問題点があるのでは無いかなー。
問題　おかしくないかなー

お礼

すいません！not0じゃないですね…問題に0に斜め線が入ってるのをnot0と解釈してしまいました（＞＿＜）ベクトルのことですよね？すいません…馬鹿な解釈をしてしまいました(-_-)そのせいで余計に悩ませてしまいましたでしょうか？
ごめんなさい・・

沢山投稿してもらって嬉しいです＞＜
すいません…頭が痛いので月曜じっくり考えてみます。。こちらの都合ですいません汗

回答No.1

kup3kup3

おはようございます。
質問に
>A∩B(a,ε1)=not0かつA∩B(b,ε2)≠not0　　
とありますが、0は空集合のことですよね。
そして「A∩B(a,ε1)=0かつA∩B(b,ε2)≠0」の
間違いではありませんか？（0<ε1<ε2とあるので）
こういうのは２次元の平面（か、3次元空間）
つまり、R^2で考えるとわかりやすくなります。。
Ａはa，bから等距離にある点の全体、
つまりaとbを結んだ線分abの
垂直二等分線（R^3だと二等分面）です。
ａを中心に半径ε1の開円板（R^3だと開球体)
bを中心に半径ε2の開円板を図にかくと・・・
この図を見てあとは証明をを考えてみては？

お礼

おはようございます。回答有り難うございますm(_ _)m

>A∩B(a,ε1)=not0かつA∩B(b,ε2)≠not0　　
とありますが、0は空集合のことですよね。
はいそうです。分かりにくいですがnot0は空集合でないということです。

＞そして「A∩B(a,ε1)=0かつA∩B(b,ε2)≠0」の
間違いではありませんか？（0<ε1<ε2とあるので）
いえ、問題は合ってるはずなんですが…印刷ミスでない限り。

２次元で考えるのですね。。
＞Ａはa，bから等距離にある点の全体、
つまりaとbを結んだ線分abの
垂直二等分線（R^3だと二等分面）です。

なるほど。A:={x∈R^N:||x-a||=||x-b||}はこうなるんですね！まだまだ理解力が足りないです汗

＞ａを中心に半径ε1の開円板（R^3だと開球体)
bを中心に半径ε2の開円板を図にかくと・・・

すいません、なぜこうなるのでしょう？
||a-b||=ε1+ε2から言えるのだと思うのですが…||a-b||=ε1+ε2となる場合が想像出来ません…a>0、a<0<b、b<0の場合を考えてみましたが||a-b||は線分abのことですよね？理解力がなくてすいません…