常に真または偽である条件の扱い

質問

初心者なので理解力がありません。もちろん自分でも努力していますが、以下の式がなぜこうなるのかどうしても理解することができません。　

　常に真である条件をＴとすると、ｐ∧Ｔ＝ｐ、ｐ∨Ｔ＝Ｔ
　常に偽である条件をＦとすると、ｐ∨Ｆ＝ｐ、ｐ∧Ｆ＝Ｆ

　数学や論理学に詳しい方がいらっしゃったら、ぜひくわしく教えていただけませんか？よろしくお願いします。

回答No.5

Ishiwara

「常に」という語は、誤解を招きやすいので「使わなくて済むならば使わない」ようにしましょう。

つまり「常に真なる」命題のみが「真」であり、真であったり偽であったりする命題は「偽」です。

質問者さんが「ベン図」を理解されているかどうかによって、回答がずいぶん変わると思うので、お分かりにならない点をピンポイントで示していただくのがよいと思います。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

arrysthmia

論理演算 ∧ と ∨ は、演算の値
Ｔ∧Ｔ＝Ｔ，Ｔ∧Ｆ＝Ｆ，Ｆ∧Ｔ＝Ｆ，Ｆ∧Ｆ＝Ｆ，
Ｔ∨Ｔ＝Ｔ，Ｔ∨Ｆ＝Ｔ，Ｆ∨Ｔ＝Ｔ，Ｆ∨Ｆ＝Ｆ
によって定義されています。

この一覧から
Ｔ∧Ｔ＝Ｔ と Ｆ∧Ｔ＝Ｆ を取り出して見れば ｐ∧Ｔ＝ｐ、
Ｔ∨Ｔ＝Ｔ と Ｆ∨Ｔ＝Ｔ を取り出して見れば ｐ∨Ｔ＝Ｔ、
Ｔ∨Ｆ＝Ｔ と Ｆ∨Ｆ＝Ｆ を取り出して見れば ｐ∨Ｆ＝ｐ、
Ｔ∧Ｆ＝Ｆ と Ｆ∧Ｆ＝Ｆ を取り出して見れば ｐ∧Ｆ＝Ｆ
が、（ｐの真偽によらず）確かに成り立っています。

わかるとか、わからないとかいう話でもなさそうですが…

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

補足

Ｔは真、Ｆは偽ですよね？
なぜこのようになるのかわからないんです。すみません。

Ｔ∧Ｔ＝Ｔ，Ｔ∧Ｆ＝Ｆ，Ｆ∧Ｔ＝Ｆ，Ｆ∧Ｆ＝Ｆ，
Ｔ∨Ｔ＝Ｔ，Ｔ∨Ｆ＝Ｔ，Ｆ∨Ｔ＝Ｔ，Ｆ∨Ｆ＝Ｆ

回答No.3

mistery200

ｐ∧Ｔ＝ｐより、ｐはＴの真部分集合です。
だからｐ∨Ｔ＝Ｔ
ｐ∧Ｆ＝Ｆより、Ｆはｐの真部分集合です。
だからｐ∨Ｆ＝ｐ

Ｆ∧Ｔ＝Ｆ、Ｆ∨Ｔ＝Ｔですね。
変ですね。
Ｆ∧Ｔ＝φ（空集合）にならないです。

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

回答No.2

proto

「∧」とは「かつ」ということで、もう少し日本語っぽく言うと「どっちも真じゃないとダメだよ」と言うことです。
「∨」とは「または」ということで、もう少し日本語っぽく言うと「どっちかが真ならそれでいいよ」と言うことです。

ｐ∧Ｔ＝ｐは「p,Tのうちどっちも真じゃないとダメだけどTは絶対に真だから、あとはpの結果次第だね」ということです。
ｐ∨Ｔ＝Ｔは「p,Tのうちどっちかが真だったらいいんだね、Tが絶対に真だからじゃあpの結果はどうでもいいね」ということです。

ｐ∨Ｆ＝ｐは「p,Fのうちどっちかが真だったらいいんだけど、Fは絶対偽だから役に立たない、あとはpに頼るしかないな」ということです。
ｐ∧Ｆ＝Ｆは「p,Fのうちどっちも真じゃないとダメだね、でもすでにFが絶対に偽だからpがどうなろうとダメだ、あきらめよう」ということです。

お礼

本当にありがとうございます。すごくわかりやすいです。
なんとか理解することができました。

補足

わからないことがもういくつかあるのですが、『Ａ∧￢Ａは常に偽』というのは、ベン図で書くと全く重ならないからでしょうか？
　『Ａ∧￢Ａ』以外で常に偽であるものは他にありますか？
　また、常に真とは、どのようなものですか？

回答No.1

rinkun

理解できないも何もない。
論理値は2つ(T,F)しかないんだから、2変数の論理関数の取り得るパターンは4つしかない。その全てを書き下してみれば一目瞭然だ。

p,qを論理変数として、p∧qとp∨qの取り得るパターンを書き下し、その上でqにTあるいはFを代入して確認すること。

お礼

すみません。わかりません。

補足

回答していただき、ありがとうございます。