線分長無限大でのコーシーの積分定理

質問

コーシーの積分定理で積分曲線の長さが有限の場合はわかりますが、
線分長が有限でない場合で、積分が収束する場合にもコーシーの積分
定理が成り立つのでしょうか？成り立つとするとどういう証明に
なりますか。

回答No.1

rinkun

コーシーの積分定理だと解析関数ですよね。
線分長が有限でなく積分が収束するという条件から関数が0ということになるのではないかと思います。形式的にはコーシーの積分定理は成り立ちますが無意味ですね。

関数fが0でないとしますね。そうすると積分曲線の有限長でない線分を含む領域で、あるε>0があって領域内ではRe(f)>ε（あるいは「領域内ではRe(f)<-ε」あるいは「領域内ではIm(f)>ε」あるいは「領域内ではIm(f)<-ε」）という条件を満たす領域があると考えられます。したがって積分は発散します。

お礼

ありがとうございます。お礼が遅くなりすみませんでした。
どうも質問の「線分長無限大」
という言葉が不適切でした。このため「f(z)=0」で形式的には
積分０．というお答えになってしまいました。
すみません、私のイメージしていたのは、積分曲線の長さ無限大
の曲線（ペアノの曲線のような有界でも長さが無限大なもの）
です。このときダルブーの和の極限が収束する場合を積分が定義
できるものと考えています。

補足

どうも質問の「線分長無限大」
という言葉が不適切でした。このため「f(z)=0」で形式的には
積分０．というお答えになってしまいました。
すみません、私のイメージしていたのは、積分曲線の長さ無限大
の曲線（ペアノの曲線のような有界でも長さが無限大なもの）
です。このときダルブーの和の極限が収束する場合に積分値がある
と考えています。Σf(ξi)(Zi-Zi-1)の極限で一種リーマン積分的な
極限です。たしかにルベーグ積分的に考えて
積分を線分長を測度にとるとおっしゃるようになるように
思います。