コーシーの定理

質問

z^3/(2z-i)という式をコーシーの定理を適用して解きたいのですが、この定理がまだ理解できていない状況です。どなたかこれを例に回答できる方がいましたらよろしくお願いします。ちなみに答えはπ/8です。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

問題文が変なのですが、z^3/(2z-i)はz=i/2が特異点なので、
z=i/2を中心とする円周|z-i/2|=r上で積分するということでしょうか？

だとしたら、
∫|z-i/2|=r{z^3/(2z-i)}dz
=(1/2)・∫|z-i/2|=r{z^3/(z-i/2)}dz
=πi・(1/2πi)・∫|z-i/2|=r{z^3/(z-i/2)}dz
=πi・(i/2)^3
=π/8
（見にくいですが、∫|z-i/2|=r{z^3/(2z-i)}dz
は関数z^3/(2z-i）を、円周|z-i/2|=r上で積分する
という意味です）
(1/2πi)・∫|z-i/2|=r{z^3/(z-i/2)}dz=(i/2)^3
となるのは、コーシーの積分公式
f(a)=(1/2πi)・∫|z-a|=r{f(z)/(z-a)}dz
において、f(z)=z^3、a=i/2として分かります。

円周の半径rは関数f(z)が正則な（微分可能な）範囲内なら
何でも良く、さらに言えば円周でなくても一回転する閉曲線
なら何でも良いのです。

コーシーの積分公式は、閉領域Dで正則な関数の値は、Dの境界
の値から決まってしまうということです。
すなわち、Dの境界での値を決めると、その値をもつ正則関数は
１つしかないということです。
実関数では、区間の両端の値を決めても、その値をもつ微分可能
な関数は無限にあるのと大きく違います。
複素関数の世界では微分可能ということがものすごい厳しい条件
だといえます。
（実関数だと極限のとり方が左右の方向から２通りしかないが、
複素関数の場合は、極限のとり方が無限にある。）

補足

今一度本をよみ返してみたら、zk43さんのいう考え方であっていました。質問の仕方に不備があったにもかかわらずここまで答えて頂きどうもありがとうございました。

回答No.4

Mr_Holland

「z^3/(2z-i)という式をコーシーの定理を適用して解きたい」と書いてあるだけで、何を求めたいのか、積分区間が書いていないからなんともいえないが、
ある区間での周回積分を求めるものだと解釈して、
　f(z)=z^3/(2z-i)
と置き、∫c f(z)dzの求め方を大雑把に説明すると、

(1)　z=i/2がCの上と内部に含まれないとき、
f(z)はCとその内部で正則なので、コーシーの積分定理から
　∫c f(z)dz＝0。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%AE%9A%E7%90%86

(2)　z=i/2がCの内部に含まれるとき、
f(z)をローラン展開すると、
　f(z)＝1/2・(z-i/2)^2-3i/4・(z-i/2)-3/4-i/16・(z-i/2)^(-1)
これを区間Cで積分すると、(z-i/2)の-1乗以外の項はすべて正則なので０になるから、
　∫c f(z)dz＝∫c (-i/16)(z-i/2)^(-1) dz＝(-i/16)∫c(z-i/2)^(-1) dz
また、コーシーの積分公式より、
　∫c (z-i/2)^(-1) dz＝2πi
∴∫c f(z)dz＝(-i/16) 2πi＝π/8
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%85%AC%E5%BC%8F

ちなみに検算はしていないので、計算間違いがあるかも。
自分で解いて確認してください。

補足

質問に不備があったにも関わらず詳しい回答していただきありがとうございました。参照ページもで示して頂き助かりました。(本がすべて英語なので・・)

回答No.2

ONB

>z^3/(2z-i)という式をコーシーの定理を適用して解きたいのですが

これでは何をしたいのかがまったく分かりません。
答えがπ/8であることから考えると、何らかの線積分の値を求める問題かと思いますが、いずれにせよ問題を明確にして質問しないと答えてもらえないと思います。

補足

すいません。問題の意味があまり自分で分かってなかったみたいです。実際は特異点の円周上で積分するというものでした。

回答No.1

mazimekko3

> z^3/(2z-i)という式をコーシーの定理を適用して解きたいのですが
この数式のなにを求めるのでしょうか？
zが何かに収束するのか、iが虚数単位を示しているのか分かりません。
普通に計算して
(z^2/2)+(iz/4)+(i^2/8)+(i^3/(8(2z-i)))
となりますが？

補足

すいません。問題が英語で書かれているたためあまりわかりませんでした。とりあえず問題文には積分範囲は書いてありませんでしたが、本文中には特異点をさがし、それを中心とする円周上で積分するみたいな証明だったのでたぶんそうだとおもいます。こちら側の不備でしたがどうも回答いただきありがとうございました。