(続)コーシーの積分定理での疑問

質問

単純閉曲線の定義は「単純閉曲線は始点と終点以外に交点を持たない曲線」だと思います。

然し,添付ファイルC_0=C_1+C_3-C_2-C_3はC_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対の線分だと推測します。図では分かり易いようにわざとC_3と-C_3を離して描いてあるのだと思います。
従ってでC_0はC_3の箇所で無限個の交点を持っていますよね。
よってC_0は単純閉曲線ではないと思うのですが、、、

どのように解釈すればいいのでしょうか?

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足質問の回答

>>>C_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対の線分だと推測します。
>> 極めて距離が近い線分の経路ですが重なっていない離れた線分と考えないといけません。

>C_3と-C_3とでは経路も向きも異なるのなら-C_3はC_3'という風に記号を分けるべきだと思いますが。。

著者の考え方次第でしょう。書き方が異なっても内容は同じです。
経路積分が±で打ち消し合う意味で著者はそのような記号を使ったのでしょう。質問者さんはC3の同じ添字を使い「'」を付けたことで極めて近いが重なってはいない逆向きの経路である事を表現したいのでしょう。
積分経路をとる領域が「被積分関数である複素関数が正則な領域であれば」経路の始点と終点が同じであれば積分値が同じになる事をコーシーの積分定理が保証してるので、2つの積分経路の始点と終点がそれぞれ終点と始点に極めて近くとれば（一致はしない）、必ずしも経路は逆向き並行でなくても構わないですね。でもわざわざ平行でないことを強調する必要もないでしょう。正則な領域内では始点と終点が同じなら、経路が平行であろうとなかろうと交差したり重なったりしてなければ、どうでもいいことです。便宜上、並行逆向きで重ならない線分で経路を描いているに過ぎません。経路の記号の付け方は著者が記号にどんな意味を持たせ何を強調したいと考えているかで変わってくるかと思います。

>>>従ってでC_0はC_3の箇所で無限個の交点を持っていますよね。
>> 互いに逆向きの離れた線分なので交点はありません。
>> 質問者さんが勝手に推察した思い込みが作り出した
>> 固定観念が間違った結果を導いているに過ぎません。

>C_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対という意味ではないのでしょうか?
この捉え方は間違いです。複素積分の経路の取り方が分かっていない人の発想です。一致させたらコーシーの積分定理が成り立ちません。

>> ↓間違った結果
>>>よってC_0は単純閉曲線ではないと思うのですが、、、
>> 間違った推察からこのような間違った結論を導き出しているに過ぎません。
>>>どのように解釈すればいいのでしょうか?
>> C_3,-C_3の線分は極めて近い向きが逆の経路であるが離れた
>> 経路と解釈すればいいだけのことです。極めて近いがゆえに、
>> C_3,-C_3の経路の線積分は打ち消しあってゼロになると言うことです。

>究めて近いといっても結局は異なる経路なのでC_3と-C_3との線積分の絶対値は等しいとは限りませんよね?

複素積分の経路は正則な領域の内部にとることが大前提なので、経路の互いの始点と終点が極めて近ければ（限りなく近いが一致はしないのであれば）、線積分の絶対値は経路によらず、必ず等しくなります（コーシーの積分定理が保証している）。正則領域内の経路の線積分であるという大前提を忘れていませんか？

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> 経路積分が±で打ち消し合う意味で著者はそのような記号を使ったのでしょう。
> 質問者さんはC3の同じ添字を使い「'」を付けたことで極めて近いが重なってはいない
> 逆向きの経路である事を表現したいのでしょう。

その通りでございます。

> 積分経路をとる領域が「被積分関数である複素関数が正則な
> 領域であれば」経路の始点と終点が同じであれば積分値が同じになる
> 事をコーシーの積分定理が保証してるので、2つの積分経路の始点と
> 終点がそれぞれ終点と始点に極めて近くとれば（一致はしない）、
> 必ずしも経路は逆向き並行でなくても構わないですね。

え゛!? そんないい加減なものでいいのでしょうか?

　　/　|
　/　　|
　/　　|
/　　　|

のような非平行な2つの線分は始点と終点が近いからこれらの線積分は等しいと言っていいのでしょうか?
でも或る人はいや終点はかなり遠いぞと言い張れば反論しようが無いではないですか("近い"の定義があやふやなので)。
本を読み返してみましたが2線分の始点と終点が多少異なっていてもその線積分が等しくなるという記述は見当たりませんが。。

複素関数ってそんな適当なものなのでしょうか?

> でもわざわざ平行で
> ないことを強調する必要もないでしょう。正則な領域内では始点と終点が同じなら、
> 経路が平行であろうとなかろうと交差したり重なったりしてなければ、どうでもいい
> ことです。

これは積分路変形の原理から言えますね。納得です。

> 便宜上、並行逆向きで重ならない線分で経路を描いているに過ぎません。
> 経路の記号の付け方は著者が記号にどんな意味を持たせ何を強調したいと考えて
> いるかで変わってくるかと思います。

そうしますと図3のC3と-C3は始点と終点のみだけ重なっていてそれ以外は究めて近距離だが決して重なっていないのですね。

>>>>従ってでC_0はC_3の箇所で無限個の交点を持っていますよね。
>>> 互いに逆向きの離れた線分なので交点はありません。
>>> 質問者さんが勝手に推察した思い込みが作り出した
>>> 固定観念が間違った結果を導いているに過ぎません。
>>C_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対という意味ではないのでしょうか?
> この捉え方は間違いです。複素積分の経路の取り方が分かっていない人の発想です。
> 一致させたらコーシーの積分定理が成り立ちません。

これはそうですね。「単純閉曲線Cで囲まれた内部の領域をDとおく。複素関数f(z)がC及びその内部Dで正則で且つその導関数が連続の時,∫_c f(z)dz=0が成り立つ」
ですね。

>>> ↓間違った結果
>>>>よってC_0は単純閉曲線ではないと思うのですが、、、
>>> 間違った推察からこのような間違った結論を導き出しているに過ぎません。
>>>>どのように解釈すればいいのでしょうか?
>>> C_3,-C_3の線分は極めて近い向きが逆の経路であるが離れた
>>> 経路と解釈すればいいだけのことです。極めて近いがゆえに、
>>> C_3,-C_3の経路の線積分は打ち消しあってゼロになると言うことです。
>>究めて近いといっても結局は異なる経路なのでC_3と-C_3との
>> 線積分の絶対値は等しいとは限りませんよね?
> 複素積分の経路は正則な領域の内部にとることが大前提なので、
> 経路の互いの始点と終点が極めて近ければ（限りなく近いが一致はしないのであれば）、
> 線積分の絶対値は経路によらず、必ず等しくなります（コーシーの積分定理が保証している）。

色々な書籍のコーシーの積分定理の欄に目を通してみましたが2線分が一致しなくても近けりゃこれらの線積分が一致とする述べてありませんが。。

究めて近けりゃ線積分の絶対値が"ほぼ"等しくなるなら納得できますが"完全"に等しくなるとはどうすれば解釈できるのでしょうか?

> 正則領域内の経路の線積分であるという大前提を忘れていませんか？

ん? これは積分路変形の原理の事を仰っているのでしょうか?

回答No.1

info22_

>C_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対の線分だと推測します。

極めて距離が近い線分の経路ですが重なっていない離れた線分と考えないといけません。

>図では分かり易いようにわざとC_3と-C_3を離して描いてあるのだと思います。

実際距離は極めて近いが離れた線分なので離して描かないとダメです。

>従ってでC_0はC_3の箇所で無限個の交点を持っていますよね。

互いに逆向きの離れた線分なので交点はありません。
質問者さんが勝手に推察した思い込みが作り出した固定観念が間違った結果を導いているに過ぎません。
↓間違った結果
>よってC_0は単純閉曲線ではないと思うのですが、、、
間違った推察からこのような間違った結論を導き出しているに過ぎません。

>どのように解釈すればいいのでしょうか?
C_3,-C_3の線分は極めて近い向きが逆の経路であるが離れた経路と解釈すればいいだけのことです。極めて近いがゆえに、C_3,-C_3の経路の線積分は打ち消しあってゼロになると言うことです。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

>>C_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対の線分だと推測します。
> 極めて距離が近い線分の経路ですが重なっていない離れた線分と考えないといけません。

C_3と-C_3とでは経路も向きも異なるのなら-C_3はC_3'という風に記号を分けるべきだと思いますが。。

>>従ってでC_0はC_3の箇所で無限個の交点を持っていますよね。
> 互いに逆向きの離れた線分なので交点はありません。
> 質問者さんが勝手に推察した思い込みが作り出した
> 固定観念が間違った結果を導いているに過ぎません。

C_3と-C_3とは重なっていて向きが正反対という意味ではないのでしょうか?

> ↓間違った結果
>>よってC_0は単純閉曲線ではないと思うのですが、、、
> 間違った推察からこのような間違った結論を導き出しているに過ぎません。
>>どのように解釈すればいいのでしょうか?
> C_3,-C_3の線分は極めて近い向きが逆の経路であるが離れた
> 経路と解釈すればいいだけのことです。極めて近いがゆえに、
> C_3,-C_3の経路の線積分は打ち消しあってゼロになると言うことです。

究めて近いといっても結局は異なる経路なのでC_3と-C_3との線積分の絶対値は等しいとは限りませんよね?