極限

質問

lim[x→0](e^x-cosx)/x

どのようにすればよいのでしょうか？
教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.5

kabaokaba · ベストアンサー

>lim[x→0](1-cos(x))/x=?
>がどのようになるのでしょうか？

基本すぎる・・・
lim[x→0](1-cos(x))/x
=
lim[x→0](1-cos(x))(1+cos(x)) / x(1+cos(x))
=
lim[x→0] sin^2(x) / x(1+cos(x))
=
lim[x→0] (sin(x)/x)^2 x/(1+cos(x))
=
0
もしくは
lim[x→0](1-cos(x))/x
=
-lim[x→0](cos(x)-cos(0))/(x-0)
=
-(cos(x))'(0)
=
sin(0)
=
0

ほかにも
f(x)=e^x - cos(x)
とおくと，f(0)=0だから
lim[x→0](e^x-cosx)/x
=
lim[x→0](f(x)-f(0))/(x-0)
=
f'(0)
=
e^0+sin(0)
=
1

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.4

BookerL

ド・ロピタルの定理でどうでしょう。

f(x)=e^x - cos x 、 g(x)=x として、
f'(x)=e^x + sin x 、 g'(x)=1 なので、
lim[x→0]f(x)/g(x) = lim[x→0]f'(x)/g'(x)
　　　　　　　　　 = lim[x→0](e^x + sin x)
　　　　　　　　　 = 1

　高校レベルでは証明なしに使ってはいけない、ということはいわれますが。

http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lopital.htm
http://ufcpp.net/study/misc/lopital.html

お礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.3

hkd9001

ごめんなさい、＃２です。

いま、掲題をエクセルシートで計算させてみたら、1/2 ではなく 1 でした。

たぶん、私が書いた

＞cos(x) = 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 + ・・・

が誤っており、x の１次の項の係数が -1/2 だと思います（正しい展開結果は、恐れ入りますがご自身でお調べ頂きたいと思います）。

ですので、「結果は　１」に訂正させていただきます。　

大変失礼いたしました！

お礼

回答ありがとうございます。
テーラー展開から導き出すのですね。
e^x = 1 + (1/1!)x + (1/2!)x^2 + (1/3!)x^3 + ・・・
となり
lim[x→0](e^x - cosx)/ x = 1 となりました。

ありがとうございます。

ちなみにテーラー展開を使用しないで求めることはできないのでしょうか？

回答No.2

hkd9001

まず、
「e^x」「cosx」をそれぞれ、テーラー展開（「マクローリン展開」だったかな）して、辺々引き算をしてみる。すると、何か見えてくるかもしれない。

※テーラー展開…関数f(x)を、近似的に
a + bx + cx^2 + dx^3 + …
といった、整関数の形に置き換えること。　
これを行うと

e^x = 1 + (1/2)x + (1/3)x^2 + (1/4)x^3 + ・・・
cos(x) = 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 + ・・・

辺々引き算すると、右辺は

(1/2)x + (5/6)x^2 + (1/4)x^3 + (19/120)x^4 + ・・・

全体を x で割ると

(1/2) + (5/6)x + (1/4)x^2 + (19/120)x^3 + ・・・

これで、掲題のlim()の中身と同じになったので

x→0 で、答えは　1/2

かな？

回答No.1

proto

lim[x→0]{(e^x-cos(x))/x} = lim[x→0]{(e^x-1)/x + (1-cos(x))/x}

お礼

回答ありがとうございます。

lim[x→0](e^x-1)/x=1
は分かるのですが、
lim[x→0](1-cos(x))/x=?
がどのようになるのでしょうか？