正規分布の加法性について（平均値の求め方）

質問

正規分布の加法性について（平均値の求め方）について教えてください。

たとえば，１つの正規分布の平均値が100，もう１つの正規分布の平均値が110で，この２つの正規分布の「差」を求める場合，平均値は10になるのでしょうか，それともマイナス10になるのでしょうか。

「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか。

回答No.5

sanori · ベストアンサー

まず、前回回答の「平均同士の差Ａ－Ｂが新しい平均」という言葉は、あまりよくなかったです。
数学と英語を総合した平均点が１０点（あるいは－１０点）としているみたいですからね。（本題と関係ないかもしれませんが。）

さて、

＞＞＞
例えば，Ａが女性の平均身長でＢが男性の平均身長だとします（値のおかしいのは無視してください）。全体数が同じだと仮定して，新しくできた「身長の差」の正規分布を用いて，男性よりも身長が高い女性の割合を計算するとします。このとき，Ａ－Ｂなら平均値がマイナス10ですが，Ｂ－Ａなら10になります。
平均値がマイナス10の場合と10の場合とでは，男性よりも身長が高い女性の割合は違ってしまいませんか？　

Ａ－Ｂ　にするか　Ｂ－Ａ　にするかは任意、
つまり、役割分担を、
・男性＝プラス、女性＝マイナス
・女性＝プラス、男性＝マイナス
のどちらにしてもよいので、お好きなほうに決めればいいだけです。
座標を考えるとき、東と西のどちらをプラスにするかを決めるのと同じことです。

＞＞＞
差は常に絶対値をとるのでしょうか？　でも，Ａ（女性の身長）－Ｂ（男性の身長）は普通に考えればマイナスになる場合が多いはずで，差を絶対値とするのはおかしい気がします。
当初の質問の「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか，とはこういう意味なのですが・・・。

絶対値を取る必要はありません。
上記で述べた「役割分担」を決めることによって、プラスかマイナスかが反転します。
（最初の回答文の、最後の２行にも書いてますけど。）

お礼

そうすると，新しくできた正規分布の平均値は，10でもマイナス10でもOKなんですね。まだすっきりと腑に落ちないのですが，もう少し考えてみます（先の例で言えば，男性より背の高い女性の割合は，どちらにしても同じになる，ということですよね・・・）。
ご丁寧な対応をどうもありがとうございました。

回答No.4

sanori

＃２の回答者です。再びお邪魔します。

＞＞＞
質問の意図は，「正規分布が２つあったとき，その正規分布どうしの引き算をしたら，新しくできる正規分布の平均値μはどうなるのか」というつもりでした。

なるほど。

両者の正規分布の全体数（分布の面積）を揃えれば、引き算した分布のμは、単純にμ同士の引き算で求まります。
ここで、「全体数」とは、前回回答でいうところの、数学、英語それぞれの総受験者数に相当します。

全体数が揃えられた２つの分布を
分布１：　平均値Ａ、標準偏差ａ
分布２：　平均値Ｂ、標準偏差ｂ
と置くとき、
２つの分布の差がどうなるかと言うと、
（「誤差の伝播」と同様に）
（Ａ±ａ）－（Ｂ±ｂ）　＝　（Ａ－Ｂ）±ａ±ｂ
　＝　（Ａ－Ｂ）±√（ａ^2＋ｂ^2）
つまり、
・平均同士の差Ａ－Ｂが新しい平均、
・√（ａ^2＋ｂ^2）　が新しい標準偏差
になります。

全体数が異なる場合に正規化（揃えること）をしないとどうなるかと言いますと、
数学の平均点が１１０、英語の平均点が１００として、
・２科目の受験者数が同じであれば、２教科の平均は１０５点
・数学の受験者数のほうが多ければ、１０５＜平均点≦１１０
・英語の受験者数のほうが多ければ、１００≦平均点＜１０５
となります。

お礼

sanoriさん，再びのお返事ありがとうございます！
すみませんが，もうひとつ教えていただけますか。

質問の続きになるのですが，
＞平均同士の差Ａ－Ｂが新しい平均
ですよね。

例えば，Ａが女性の平均身長でＢが男性の平均身長だとします（値のおかしいのは無視してください）。全体数が同じだと仮定して，新しくできた「身長の差」の正規分布を用いて，男性よりも身長が高い女性の割合を計算するとします。このとき，Ａ－Ｂなら平均値がマイナス10ですが，Ｂ－Ａなら10になります。

平均値がマイナス10の場合と10の場合とでは，男性よりも身長が高い女性の割合は違ってしまいませんか？　

差は常に絶対値をとるのでしょうか？　でも，Ａ（女性の身長）－Ｂ（男性の身長）は普通に考えればマイナスになる場合が多いはずで，差を絶対値とするのはおかしい気がします。

当初の質問の「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか，とはこういう意味なのですが・・・。

回答No.3

outerlimit

質問のことは　単なる平均値の差の求め方です

正規分布について言うならば　標準偏差や　正規化　が必要です

質問のことでならば

一方のデータの平均が　100　で　標準偏差　40
もう一方のデータの平均が110で　標準偏差　60　のときに　
両者に有意差があるか　の様に使います

お礼

お返事ありがとうございます。
私の質問の仕方が悪く，真意が伝わらなかったようです。
お手数をおかけしてすみません。
でも１番にお返事をくださってどうもありがとうございました。
またの機会にも宜しくお願いします。

回答No.2

sanori

こんにちは。

これは「正規分布」という言葉を引き合いに出す必要がない話になります。

「数学（２００点満点）、英語（２００点満点）の試験があり、数学の平均点は１１０点、英語の平均点は１００点でした。どちらの平均点がどれだけ大きいですか？」

＞＞＞「常に大きい値から小さい値を引く」というようなルールはあるのでしょうか。

上記で、すでにお気づきと思いますが、そのようなルールはありません。
小学１年では、こたえがマイナスになると困りますので、そういうルールはありますが。

お礼

お返事ありがとうございました。
私の質問の意図は，「正規分布が２つあったとき，その正規分布どうしの引き算をしたら，新しくできる正規分布の平均値μはどうなるのか」というつもりでした。その場合，μがプラスのときとマイナスのときとでは分布が違うと思ったのです。質問の仕方が悪くてすみません（これでもまだダメかも）。
でも，ご回答は参考になりました。どうもありがとうございました。

回答No.1

tono-todo

質問の意味がよく分からない？？

正規分布の差と、平均値の差、これは同じことを言っていますか？
その時加法性とは何？
難しい言葉を使わないで説明するとどうなりますか？

片方から一つ、もう片方から一つ取り出して、その差の分布はどうなるのか、という質問ですか？

一般的に２者の差とは絶対値を言います。
ＡとＢの差が１０と良く言いますが、これはどちらが大きいかを意味しません。それを言いたければ、どちらが１０大きい、あるいはＡからＢを引くと、１０等の言い方になるでしょう。
絶対値ですので、値的には大から小を引いたものになります。
このことが加法性とどういう関係にあるのか？

お礼

＞片方から一つ、もう片方から一つ取り出して、その差の分布はどうなるのか、という質問ですか？
そうそう，そうです。
「加法性」と言ったのは，上記のような作業をした場合，正規分布Aから正規分布Bを引いたときにできる新しい正規分布の分布状態を表すと思ったからです。言葉の使い方が間違っていたとしたらすみません。

＞絶対値ですので、値的には大から小を引いたものになります。
この回答で疑問は氷解しました。どうもありがとうございました。