正規分布の加法性について

質問

すいません。統計学初学者です。
正規分布の加法性でわからないことがございます。

１．N(u1, σ1^2) + N(u2, σ2^2) →　N(u1 + u2, σ1^2+σ2^2)
２．N(u1, σ1^2) - N(u2, σ2^2) →　N(u1 - u2, σ1^2+σ2^2)

正規分布を足しても引いても、
平均はそれぞれ、足されるあるいは引かれますが、
なぜ、分散だけはどちらも足されるのでしょうか？
分散は引くことは出来ないものなのでしょうか？

よろしくお願いいたします。

回答No.5

age_momo · ベストアンサー

>分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

根本的な誤解があります。質問者さんが参考にしている本も私たちも分散の引き算を、
さらには分布の引き算を論じているわけではありません。2つの確率変数X,Yの和、差の
結果として（X-Y)の分布、分散がどうなるかを論じています。この二つは全く違う議論です。

確率変数は何らかの分布に従ってはいても実態は具体的な数字です。
サイコロの出目であったり、#3で例としてあげたコインの枚数であったり、
工場で作れらる製品の不良品の数であったり様々ですがあくまでただの数字であり、
分布では有りません。ただ、その出現頻度が何らかの法則に従っているだけです。
この具体的な数字、例えば大きなサイコロと小さなサイコロを振って大きいサイコロの
出目から小さいサイコロの出目を引くといったことを考えるのが確率変数の引き算で、
その結果がどのような分布に従うことになるかを今、論じているのです。

さらに分かり易い(?)例を考えてみると、A社の200g入り牛乳の実重量が正規分布(203,1)に
従っているとします。ここから2本ずつ取り出してそれぞれの重量の差を求めてみます。
その結果が(0,0)、つまり全部0、どれも差がなかったことになると思いますか？
重いものから軽いものを引くこともあるし、軽いものから重いものを引くこともあり
結果として差は正規分布(0,2)に従うことになりますよ、と言っているのが参考書ですし、
回答者みなさんなのです。

もちろん、分散を引く計算を問題にすることも出来ます。
重量が正規分布に従うコップが有ってここに重量が正規分布(100,5)に従う水を
入れたら全体の重さは正規分布(120,8)に従った。元のコップの分布を求めよ。
これなら分散を引いて答えは(20,3)になります。しかしこれは確率変数の差を
求めているわけではないのですよ。

お礼

わざわざご回答いただきまして、ありがとうございました。
お返事遅れまして申し訳ございません。
ご丁寧で詳細なご回答、大変恐縮いたします。
分布・分散の基本が理解できていなかったのかもしれません。
基本的な部分をもっと勉強してきます。

回答No.4

Ishiwara

＃２です。
> 証明を記述した書物やサイトがある？
証明するまでもない、と思うので、どこにもないと思います。どうしても証明してみたければ、分散を求める式に代入してごらんになることをお勧めします。きわめて簡単ですよ。

お礼

わざわざご回答いただきまして、ありがとうございました。
勉強して証明します。

回答No.3

age_momo

分散が足されていくのは正規分布に限ったことではなく、何らかの確率分布に従っている
確率変数を足したり引いたりするとどんどん分散は広がっていきます。
感覚的に納得してもらうために次の例を考えて見ましょう。
(この例は二項分布に従っています。これは項数を増やすと限りなく正規分布に近づく分布です)

Aさん、Bさんがそれぞれコイン10枚を振ってAさんの10枚で表が出た枚数をX、
Bさんのコイン10枚で表が出た枚数をYとする。今、それぞれの期待値は5枚ずつ、
取り得る値の範囲は0-10である。Aさんの枚数とBさんの枚数を足すと期待値は
5+5=10、一方、取り得る値は両方の最低値0+0=0から両方の最高値10+10=20の
範囲であることが分かる。

一方、Aさんの枚数XからBさんの枚数Yを引くことを考える。
期待値は5-5=0、値が取り得る範囲は下がXの最低からYの最高を引いた0-10=-10
最高値はXの最高からYの最低を引いた10-0=10であり範囲としては-10から10まで。

X+YをしてもX-Yをしても取り得る範囲は広がっていくのが分かると思います。
中心の位置は足したり引いたりすると移動しますが、範囲としては足しても引いても同じく20です。
取り得る値の範囲と分散は必ずしも同一の挙動をするわけではありませんが、
二項分布という決まった形で横幅を広げていけば当然、分散も広がっていくことは
感覚的にも理解できるのではないかと思います。正規分布に関しても同じです。

お礼

ご回答ありがとうございました。
お返事が遅れまして大変申し訳ございません。

確率変数をそれぞれ引いたときも足したときも、その範囲は同じ。
↓
分散を引いたときと足したとき、分散の値は同じ。

ということですね。
グラフをそのまま足し引きしたイメージをもってはいけないのですね。

一般に、数学的な証明はされているのでしょうか？
証明を記述している書籍やサイトなどご存知であれば
教えていただけましたら幸いです。

回答No.2

Ishiwara

簡単のために、分布１では分散が非常に小さいとしてみましょう。すると分布１の各データから分布２の各データを引いたものは、分布２の符号をひっくり返したものに近いですよね。
左右をひっくり返しても分散は変わらないので、分散の「足し算」でよいことが分かります。
分散は２乗を足して形成されるものですから、負の数の２乗が正の数になるのと同じ性質です。分散は決して負にはなりません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
お返事が遅れまして大変申し訳ございませんでした。

数学的に証明することは可能でしょうか？
そのような記述のある書籍やサイトなどご存知でしたら、
教えていただければ幸いです。

回答No.1

kumav113

正確には正規分布を足しているのではないと思います。
N(u1, σ1^2)に従う変数：X
N(u2, σ2^2)に従う変数：Y　とします。

このとき、X+Yの分布は、N(u1 + u2, σ1^2+σ2^2)
X-Yの分布は、N(u1 - u2, σ1^2+σ2^2)となります。

また、平均が変わるのはお分かりのようですが、
分散については、もともと散らばり具合を表すものなので、
正負が逆転しても変わることはありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。
お返事が遅れまして大変申し訳ございません。
グラフをイメージしてはいけないのですね。