自然対数e

質問

昔から気になっていたのですが、自然対数eってどういう意味をもっているのでしょう。高校とかで習った、y=e^xを微分しても変わらない、とかいうような性質は知っているのですが。
この2.7ぐらいの数字の意味は何なのでしょうか？

回答No.7

siegmund · ベストアンサー

stomachman さん，おっしゃることはごもっともですが，
他人のパンツを穿いて帰るってのはどうも，なんですね～．
元々はニコラウス・ベルヌーイが封筒と中身の手紙で提唱した問題ですね．

zabuzaburo さんの太っ腹銀行はありそうもないですが，
こういうヤミ金融はありそうだから怖い．

素数定理 π(x)/x/log x → 1 (x → ∞) も面白いですね．
π(x) はｘ以下の素数の総数．
一見関係なさそうな整数の性質と，解析学で出てくるｅとが結びついています．

∫(-∞ → ∞) e^(-x^2) dx = √π など，
ｅとπがからんだ公式も多いです．

e^π と π^e は意外に値が近い(こりゃお遊びですか)．

お礼

いろいろ面白い例を教えていただきありがとうございます。
これまでのちょっとした疑問が晴れました。
教科書的な知識だけではなく、ちょっとした小話ができるのがやっぱり専門家なのでしょうか。
もうそろそろ締め切りたいと思います。

回答No.6

zabuzaburo

私の高校の先生は，
「ｅの重要性は高校の範囲の知識では分かりにくいだろうけど，」
という前置きのあとに，こういう説明をしてくれました．

年利１００％の太っ腹の銀行があるとします．
（１００万円預けたら１年後には２００万円になる！）
これと，「半年ごとに５０％の利息が付く銀行」
とを比べたとき，どちらに預けるのが得でしょうか？
後者に預ければ，１００万円の元金は半年後に１５０万円になり，
さらに半年後（預けて１年後）には，
その１５０万円に５０％の利息が付きますから
１５０万円×１．５＝２２５万円
となり，前者よりもさらにお得です．
同じように考えて，
「４か月（＝１年／３）毎に３３％（≒１００％／３）では？」
「３か月（＝１年／４）毎に２５％（＝１００％／４）では？」
　……
「１年／ｎ　毎に　１００％／ｎ　の利息では？」
と考えたとき，元金が何倍になるかを考えると……

ｎ＝１では（１＋１／１）＾１＝２（倍）
ｎ＝２では（１＋１／２）＾２＝２．２５
ｎ＝３では（１＋１／３）＾３≒２．３７０
ｎ＝４では（１＋１／４）＾４≒２．４４１
ｎ＝５では（１＋１／５）＾５≒２．４８８
ｎ＝６では（１＋１／６）＾４≒２．５２２
ｎ＝７では（１＋１／７）＾４≒２．５４６
ｎ＝８では（１＋１／８）＾４≒２．５６６
ｎ＝９では（１＋１／９）＾４≒２．５８１
……
ｎ＝３６５では（１＋１／３６５）＾３６５＝２．７１４

と，どんどんお得になっていきます．
一般的な計算式は（１＋１／ｎ）＾ｎとなりますが，
さらにｎをどんどん大きくしてｎ＝１００万などとすると
（３０秒毎に０．０００１％の利子がつく！）
元金は約２．７１８２８倍になります．
これはｌｉｍ（ｎ→∞）（１＋１／ｎ）＾ｎ（ｅの定義の１つ）
の値を追究していることになりますね．

ちなみにその先生には
「だからなんなんだ？数学とどう関係あるんだ？
と思うかもしれんが，何の説明もないよりはマシやろ？」
と言われました．

回答No.5

stomachman

eの数字については、「大抵の実数は無理数であり超越数である。」というのが答でしょう。下記URLにπに関する類似の議論があります。
●e =1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ........
●N人のおおざっぱなひとたちが銭湯に入るのでパンツを脱いだ。風呂から上がって、でたらめにパンツを穿く。自分の穿いてきたパンツをちゃんと穿いて帰った人がひとりも居ない確率は？
N本に１本の割合で当たりがついているアイスクリームバーをN本買ったのに、１本も当たらない確率は？
　Nが大きいとき、どちらも答は1/e になります。

いろんな所に出てくる。だからこそ「自然」なんでしょうね。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=40454

お礼

最初のマクローリンはいいとして、2番目の例、こういうのを知りたかったのです。
どうも昔から「自然」対数というのが納得できなかった。訳わかんないeとかいう値を底にして対数をとって何の意味があるのだろう、どこが「自然」なんだろうと。
5年前、研究の合間にふと思いついた疑問でした。
明日（といってもこっちの時間ですが）には閉めたいと思います。
もし、もっと面白い例がありましたらよろしくお願いします。

回答No.4

siegmund

ryumu さんが書かれているように，
(a^x)'=a^x を満たす a が lim_{n →∞} (1 + 1/n)^n = e ですから，
結局はそういう極限値というより仕方がないでしょう．

それとも，Phi_P さんは，
πが直径と円周の比であるような意味が e にもないか，ということでしょうか．
半径１の円の面積がπです．
同じように言うなら双曲線 y = 1/x の x=1 から x=e の間の下(x 軸との間)面積が
１になりますが....
円に関係する三角関数と，双曲線に関係する双曲線関数の類似もありますね．

πとｅは二大有名超越数(？)ですが，どうもπの方が脚光を浴びるようです．

a^x で，a を複素数にしますと多価関数になりますから，
ちょっと注意が必要です．
主値をとることにして，a = r e^(iθ) (-π＜θ≦π)として，
{[r e^(iθ)]^x}' = r^x (log r) e^(iθx) + r^x iθ e^(iθx)
で，これがもとの [r e^(iθ)]^x になるとすると，
x = 0 とおいて，容易に θ=0，log r = 1，が得られます．
すなわち，複素数まで広げても e しかありませんね．

お礼

ありがとうございます。
＞πが直径と円周の比であるような意味が e にもないか，ということでしょうか．
まさにそのとおりです。eという値そのものの意味を知りたかったのです。

複素数まで範囲を広げてもやっぱりeだけなのですね。
納得です。

回答No.3

ryumu

そもそもの定義は、

(a^x)'=a^x

を満たすaを自然対数の底eとするんだったと思います。

微分の定義から

(a^x)'=lim[a^(x+h)-a^x]/h、 h -> 0

これが結局、a^xになるようにすればいいんですよね。
上の式をlimを省略して計算すると、

a^x[a^h-1]/h=a^x -> (a^h-1)/h=1

となります。a=の式にすると、

a=(1+h)^(1/h)

となり、1/h=nとし、limをあらわにすると

a=lim[1+1/n]^n、 n ->無限大

となり、これをeとすると、siegmundさんのかかれてる有名な式になります。
結局その値自体は、意味はないのでしょうかね。
私自体は、eを(e^x)'=e^xの関係を満たす定数とだけ認識してます。

また、y=cosx+isinxと定義すると、

y'=-sinx+icosx=i(cosx+isinx)=iy -> y'=iy

となり、これをふつうの微分方程式として解くと（y(0)=1を使って）

y=e^x

となり、有名なe^x=cosx+isinxが導けます。

お礼

結局は
(a^x)'=a^x
が定義なのでしょうか。
結局、2.7...という数字には意味がないのでしょうか。
あと、ふと疑問に思ったのが、
(a^x)'=a^x
を満たすaというのは複素数の範囲で考えてもeしか存在しないのでしょうか。
それとも、複素数の微分というのは存在しないのでしょうか。

回答No.2

tnt

たしかにｅの意味って難しいですね.

微積分しても変らない。言い換えれば次元を変えることで
実態が見えてくるものについて、ｅを利用すると
きれいに状態式が作れるのですが、
（たとえば、ｅ＾（ωt）より、sin(ωt)＋ｊcos（ωｔ））
これを説明するのは.......

良い説明方法に気が付いたら、また書きます

お礼

確かにeは普段からよく使っています。といっても計算はしませんが。
化学屋の自分としてはフーリエとかには欠かせないものですから。

回答No.1

siegmund

lim_{n →∞} (1 + 1/n)^n = e
なんて高校でやらなかったですか？
他にも e に関係する極限値などいっぱいありますが，
上のが一番基本でしょう．

他に e^(iθ) = cosθ + i sinθ などいろいろあります．

それから，e は自然対数でなくて，「自然対数の底」です．

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。
確かに
lim_{n →∞} (1 + 1/n)^n = e
とか複素平面の話とかは知っております。
でも、結局eの定義って何なのでしょう。
ただ単に上式の極限値という話なのでしょうか。
何かeという値の意味ってあるのでしょうか。
たとえば円周率みたいに。
よろしくお願いします。