＋－×÷だけを使ってルートを導く方法。

質問

四則だけを使ってルートの二乗（√３８×３９など）を導く方法はありますか？　昔式で導く方法を習ったことがあるのはおぼえているんですが、やりかたは覚えていません。　それ以外の方法がありましたら教えてください。（電卓なしです。）

回答No.10

kony0

すみません、#7間違えてましたね。

～√aを反復法で求める方法～
Step1.適当な正の数xを設定する。（解の概算値ならなおOK）
Step2.(1/2){x+(a/x)}を計算する。
Step3.上で計算した値とxに差がなければ答え。
差がある場合、計算値を新しくxとしてStep2.に戻る

・・・Step2.で(1/2)が抜けてました。

ところで、#7の前半で、１回の反復で解との誤差が1/2未満になることを示しましたが、じゅうぶん解に近づいたところでは２次収束します。
大域的に収束し、かつ収束の速度も極めて速いので、かなり優秀なアルゴリズムだと思います。

２次収束はほぼ自明ですが、X(n)>=√aを用いて以下のとおり。
|X(n+1)-√a|=|(1/2X(n))(X(n)-√a)^2| <=(1/2√a)*|X(n)-√a|^2

a=38*39, xの初期値40から、メモリー付電卓で計算するならば、
Step0.40（xの初期値）をメモリーに記憶（xを記憶）
Step1.38*39（a）/(MR)=を計算（a/xを計算）
Step2.M+((x+a/x)がメモリーに格納）
Step3.MR/2=を計算((1/2)(x+a/x)を計算）
Step4.M-((メモリーには(1-1/2)(x+a/x)が入ることになる→次の反復の初期値xに相当）
Step5.MR*=を計算してaに近くなければStep1.に戻る
という手順でいけそうですね。

回答No.9

komomomo

すいませんもう一度失礼します☆

微分を使ったやり方で√(38*39)ということですと、38.5です。
xの増加分が相対的に小さいと求める値はより近いものになります☆

回答No.8

daimaoh

近似分数を求めるのであれば，連分数を使うのがよいのでは？

x:=√1482　とおくと，x=38.*****　なので，38が最初の近似。次に
y:=x-38　とおくと，0<y<1なので，逆数　1/yを考えます。
2<1/y<3，すなわち，1/y=2.*****　なので，38+1/2 =77/2が次の近似。
これは，38+1/2.***　→38+1/2　と近似したわけです。
ちなみに，1/y=1/(x-38)=(x+38)/38　です。

z:=(1/y)-2 (つまり，0.***部分)とおくとき，1/z=x+38=76.**** なので，
38+1/(2+1/76)=5890/153が次の近似（左の式で，76.****が正確な値）。
同様に，次は11857/308となります。

一般に，ルート何とかという数（２次無理数）は循環するので，求めるのは
簡単です。この場合も，38の整数部以外では，{2,76}が循環します
（1/z-76=x-38=yですから）。

URLは，『連分数』で検索すればいくらでもでてきそうですね。

回答No.7

kony0

|X(n+1)-√a|=|(1/2X(n))(X(n)-√a)^2|
の続き。

まず、X(n)>0のとき、(1/2)(X(n)+a/X(n))>=√aが言えます．（相加相乗平均）
X(0)>0なので、n>=1のときX(n)>=√a
等号成立はX(n)=√aのとき。

n>=1に対して、
|X(n+1)-√a|=|(X(n)-√a|*(1/2)|1-(√a/X(n))|
ここでX(n)>=√aなので、0<=1-(√a/X(n))<1

よって、|X(n+1)-√a|<(1/2)*|(X(n)-√a|（証明終）

まぁ証明はどーでもえぇです。(笑）

では実際の計算機の使用方法：
Step1.適当な正の数xを設定する。（解の概算値ならなおOK）
Step2.x+a/xを計算する。
Step3.上で計算した値とxに差がなければ答え。
差がある場合、計算値を新しくxとしてStep2.に戻る
以上です。

ご質問の問題では、a=38*39に対して、xの初期値40とすると、
１回目：38.525
２回目：38.49676347
３回目：38.49675311
４回目：（同じ）

回答No.6

kony0

X(0)に適当な正の整数をセットし、
X(n+1)=(1/2){X(n) + a/X(n)}
の漸化式を計算すると、収束すればlim(n→∞)x(n)=√aがいえます。

収束性の議論は他の方にお任せします。
|X(n+1)-√a|=|(1/2X(n))(X(n)-√a)^2|
あたりからうまくいえないですかねぇ？

回答No.5

good777

38×38＝1444
38×39＝1482
39×39＝1521
なので、
38と39を（1482－1444）：(1521－1482)＝38：39
に比例配分すると,
38＋38/77＝38.493506493
となり、

√38×39
＝√1482＝38.4967531
と少し近くなりますね。

しかし、（38+39）÷2＝38.5に負けてますね。
手計算（開平算）でも、解を5桁以上出すのは難しいですね。

ここは、（38+39）÷2＝38.5で笑ってください。

回答No.4

good777

No3の
217/36=6.027777777
は
√38＝6.164414002
とぜんぜん違いますね。
これなら、
（36,6）と（49,7）を2：8に比例配分して,
6＋（2/（49-36））＝6.153846153
としたほうがましですね。

回答No.3

komomomo

ルートは微分を使って近似値を出す方法があります。

f(x+dx)nearlly equal f(x)+dy = f(x)+f ' (x)dx

ということを利用します。
これで√38を求めるやり方を説明します。

f(x)=√xで、分かりやすい値はx=36で、y=6ですね。
dy = f ' (x)dx = 1/2*x^-1/2*dx
そしてdxはxの増加分ですから、2です。

f(36+2)nearlly equal f(36)+dy=6+(1/(2*√36))*2=217/36

これが近似値です。
(* は掛ける、^ は指数を表わしています。)
でもこれは四則だけじゃないのかな（^^;?

お礼

なかなか難しい方法ですが参考になりました。ありがとうございました。

回答No.2

a-kuma

開平法のことを言っているのでしょうか？

「それ以外の方法」とは、開平法以外の筆算で求める方法を指しているのでしょうか？

とりあえず、「昔式で導く方法を習ったことがあるのはおぼえているんですが」に
あたるであろう開平法について書いてあるページを参考URL に紹介しておきます。

参考URL：

http://www2.justnet.ne.jp/~s.honma/root.htm

お礼

あのやり方は開平方っていうんですね。どうもありがとうございました。

回答No.1

odoratti

質問の意味がわからないのですが・・・・

「ルートの二乗」をすれば元の数にもどるだけのような気がします。
それとも「ルート」つまり平方根を計算する方法でしょうか。
それなら筆算でできます。
とりあえず質問の意味をはっきりしてください。