電流の連続性

質問

電線のなかをｎ（Ｃ）の電子が速度Ｕ（ｍｍ/ｓ）で移動して
Ｉ（Ａ）流れているとします。
電荷の総和が０ならば、KＵ（ｍｍ/ｓ）で散歩している人が見て
もＩ（Ａ）ですね。

そこで電線の一部を電子ビームのようなもので入れ替えた
場合散歩する人からみると電流はどう見えますか？
ビームの部分はn/k（Ｃ）,kＵ(mm/s)で電子だけとします。

回答No.8

physicist_naka · ベストアンサー

No.7の補足に対して。

> 変位電流で解けた！と思ったんですが、電線の端も移動
> して見えるので微分していいのか自信がもてなくなってました。

流体力学で出てくるラグランジュ微分が参考になると思います。
ラグランジュ微分というのは、流体の微小部分を追跡したときの
時間微分を言います。
まず、正に帯電した格子の密度をρとします。
ρは電線のない部分で０で、他は一定の値を持っています。
この正に帯電した格子の微小部分を固定して、そこでの
ρの時間微分（ラグランジュ微分）をとります。すると、
　Dρ／Dｔ＝∂ρ／∂ｔ＋（ｕ・grad）ρ　　（１）
となります。微分演算子D／Dｔがラグランジュ微分です。
ここでｕ（ベクトル）は正に帯電した格子の速度としました。
格子は剛体と考えて、密度は変化せず、
　Dρ／Dｔ＝０　　　　　　　　　　　　　　（２）
ですね。ということは、（１）より
　∂ρ／∂ｔ＋（ｕ・grad）ρ＝０　　　　　（３）
となります。
ここで、∂ρ／∂ｔ≠０であることに注意しましょう。
これは座標を固定した時間微分ですから、格子がない部分に
格子がやってきたらそこで∂ρ／∂ｔ≠０となります。
この∂ρ／∂ｔ≠０は、No.7で回答したものですね。

> ただしI（拡がった形ですが）で同じ、連続という結果になりま
> したが・・・まちがったかなぁ・・・

このＩは変位電流も含めたものでしょうか？
　rot H＝ｉ＋∂Ｄ／∂ｔ　　　　　　　　　　（４）
ですが、この両辺の発散をとると、
　div （ｉ＋∂Ｄ／∂ｔ）＝０　　　　　　　　（５）
となります。ｉ＋∂Ｄ／∂ｔを一種の電流と考えれば
電流が不連続にならずにすみますね。

お礼

physicist_nanaさんありがとうございます。
ラグランジュ微分ですか、
流体力学は時々挑戦してみるのですが、途中で脱落・・・
さっそくとは、なかなか気力がわきませんがボチボチと・・

i+∂D/∂tで電流が定義されていますので含めて考えてました

回答No.7

physicist_naka

No.4の補足を拝見して。

> 電線、ビーム、電線の各部の電流が観測者の速度によらず
> Ｉ，Ｉ，Ｉで連続に見えるか
> 違ってみえるならばその差がどこからくるかというのが疑問です

違って見えるでしょう。
次にその差はどこからくるかです。
まず、以前の回答にもあるように、正に帯電した格子と電子に分けます。
電子は簡単のために電線部分でもビーム部分でも同じ密度、同じ速度で
動いているとします。このとき、動く観測者から見た場合は問題ないで
しょう。問題は、正に帯電した格子です。ビーム部分には格子はなくな
っています。これを動く観測者から見た場合、格子の端の部分が動いて
いるという状態になります。言い方を変えると、格子の端の部分の、
片方は増え、片方は減ります。ですからこの部分では、
　∂ρ／∂ｔ≠0
となります。そしてρ＝div Dですから
　∂D／∂ｔ≠0
となり、変位電流が出てきます。つまり、不連続なIの差は変位電流か
らくるということです。

補足

physicist_nakaさん「いまさら物理学」を教えていただき
ありがとうございました。

変位電流で解けた！と思ったんですが、電線の端も移動
して見えるので微分していいのか自信がもてなくなってました。
たいていの本では流れてきた電荷が端にｑ（ｔ）で
たまって微分する例が載ってますが、いわば電線（格子）ごと
微分しているような気がして・・・

ただしI（拡がった形ですが）で同じ、連続という結果になりま
したが・・・まちがったかなぁ・・・

回答No.6

mmky

二番目の命題では、(C-)→(C-)/k, Ｕ→kＵ にしたわけですね。
そこで相対補正を考慮して考えると、
相対速度v を以下のように変換して,
KU±X＝ｖ≦Ｃ　：光速度
(C-)（1/K){ｖ/√（1-(ｖ/c)＾2）｝≡I(1±X/kU)/√（1-(ｖ/c)＾2）
(1)　ｖ≪Ｃの条件で、 ＝I(1±x/kU)　
(2) v→Ｃの条件で、 ＝I≡(C-)C

(2)の考え方　v→Ｃ　±X≡v-KU
(v→ｃ)lim　I(1+(v-KU/kU)/√（1-(ｖ/c)＾2）
=lim I(v/kU)｝/√（1-(ｖ/c)＾2　→v{（C-）/√（1-(ｖ/c)＾2}
→（C-)C :注{（C-）/√（1-(ｖ/c)＾2}の項は形状変化とみて、電荷量の
変化はないと考えれば良いので＝（C-）とおける。｝

一番目の命題　
(1)　ｖ≪Ｃの条件では以下は正しい。
(C-)(U±X)+(C+)(±X)
= {(C-)U}+｛(C-)+(C+)｝(±X) ＝Ｉ
｛(C-)+(C+)｝＝0 が条件なので、

(2)ｖ→Ｃの条件では,v*=ｖ/√（1-(ｖ/c)＾2）として、
(v→C)　lim｛(C-)ｖ*+（C+)(v-KU）｝
＝Ｉ+（C+)(Ｃ-KU）
となりいつもＩにはならない。

ということになりますか。
・・・かな？

回答No.5

mmky

追伸：
「２行目の第２項の(C+)Vはなくてもよいのではないでしょうか・・」
V=0　としてVは除去できますね。
相対速度が線形状態・・意味がよくわかりませんが 」
（U±X）は光速度を超えられないので、U±X　が成立するのは速度Uまたは±Xが光速度より十分小さい範囲、｛ｖ/√（1+(ｖ/c)＾2）｝≡ｖの状態、これを（線形状態として）と書きました。vがｃに近づくとｖは非線形になりますね。そうすると速度の単純加算は出来なくなり、＃3さんの指摘のように相対速度のローレンッ変換が必要になります。
　それはさて置き、もし、以下が正しいとすると、二番目の命題はどうなるかということですね。
観測者の速度±Xとして、簡単のために、 V=0にしましょう。
(C-)(U±X)+(C+)(±X)
= {(C-)U}+｛(C-)+(C+)｝(±X) ＝Ｉ
｛(C-)+(C+)｝＝0 が条件なので、

二番目の命題では、(C-)→(C-)/k, Ｕ→kＵ にしたわけですね。
(C-)（1/K)(KU±X)= (C-)U+（C-)(±X/K)
＝Ｉ+（C-)(±X/K)＝I(1±x/kU)　になりますね。
一番が正しければ、二番も正しいといえますね。
でもKU＝Xを考えると電流が0又は2Iになりますね。
常識的にいってそんなことはないでしょう。
これ前に戻って（U±X)　が0又は2Cをとる速度のパラドックスと
同じですね。つまり、間違いですよね。
正解は、＃3ibm_111さんの指摘のようにしないといけないのではと思います。
参考まで

補足

#3ibm_111さんのアドバイスは移動する観測者には、
電線の間は静電界、I=0になるといっているのでは？

静止した電荷（ウニや栗のイガみたいな放射状）の電場が
観測者の速度によってつぶれたビオサバール？の電流要
素にみえるというやつですよね
具体的にはどうやるのか、どういう結論なのかさっぱり
わかりませんm(__)m

回答No.4

mmky

#２、追伸：
[電荷の総和が０とは動いている電荷ｅの他に静止している電子、正電荷
があり静止の電荷は差し引き－ｅの正電荷があります。
これを散歩している人がみたら正電荷が反対方向に動いて見えます
でトータルの電線の電流はＩで変化ないはずですが・・・]
つまり、
(C-)+(C+)=0
(C-)U+(C+)V=I
観測者の速度Xとして、（相対速度は線形状態として）、
(C-)(U±X)+(C+)(V±X)
= {(C-)U+(C+)V}+｛(C-)+(C+)｝(±X)
｛(C-)+(C+)｝＝0 なので、
＝Ｉ
で変わらないということですか。＃２は「まった！」ではなく
「Go,Go」ということですね。
修正まで

補足

２行目の第２項の(C+)Vはなくてもよいのではないでしょうか・・
相対速度が線形状態・・意味がよくわかりませんが
±Ｘの一定速度です

で、電線、ビーム、電線の各部の電流が観測者の速度によらず
Ｉ，Ｉ，Ｉで連続に見えるか
違ってみえるならばその差がどこからくるかというのが疑問です

回答No.3

noname#108554

後半部分は、よく分かりませんが、要は
「電子と同じ速さで運動する観測者から電流を観測するとどうなるか？」
ということですよね。

iqdeflatさんが物理専攻の方でしたら、アドバイスです。
Maxwell方程式に、電流=比例定数×電子の速度(v)の式を入れ、
速度vのローレンツ変換をしてみましょう。

確か、電流が消え、電荷が出現、
電流由来の磁場が消え、電場が出現、
という結果になったと思います。

補足

質問がちょっとゴタ混ぜになってるかもしれませんね
１、電線の切り口で電荷のバランスがくずれ、切り口間で
電界が発生しているのか

２、電界が発生しているならば、散歩程度の速度でも
切り口の面積の収縮と電荷密度、電界の強さの変化を
無視できないのか

３、散歩している人から見ると電線の切り口で、正電荷の
吸い込み、湧き出し口が現れるようにみえるが、変位電流
で処理してよいのか
４、問題自体がおかしいのか
というのがわたしの主な疑問なんですが・・・

回答No.2

mmky

「電荷の総和が０ならば、KＵ（ｍｍ/ｓ）で散歩している人が見て
もＩ（Ａ）ですね。」これちょっと「まった！」
電流というのは流速だからｎ×U＝I　ですね。散歩者の速度KUの場合は、
ｎ×U（1-K)≠I　速度は相対的だから同じにはならないね。
参考まで

補足

電荷の総和が０とは動いている電荷ｅの他に静止している電子、正電荷
があり静止の電荷は差し引き－ｅの正電荷があります。
これを散歩している人がみたら正電荷が反対方向に動いて見えます
でトータルの電線の電流はＩで変化ないはずですが・・・

回答No.1

acacia7

電流の定義が「ある単位断面を単位時間に通過する電荷量」とするならば・・・

散歩する人がなにしようと、ある断面の決め方次第では？・・
つまるところ、回路に固定した単位断面ならば
電線であろうが、電子ビームであろうが電流Iですし、
回路との相対速度がＵの断面で見れば、
電線であろうが、電子ビームであろうが電流は０です。

・・・・違う？・・（＾＾；