数の和の大小関係についてです。

質問

数の和の大小関係についてです。
背景としては、n個の数をk個のグループにできるだけ均等に分ける話を考えていて、この質問に至りました。
n個の正の数a1,a2,・・,anについて
0 　　　　 1個
a1,a2,・・,an　　　　　　　　　　　　　　　　n個
a1+a2,a1+a3,・・,a(n-1)+an　　　　　n*(n-1)/2個
a1+a2+a3,・・,a(n-2)+a(n-1)+an 　 n*(n-1)*(n-2)/6個
・
・
a1+a2+・・a(n-1),・・・,a2+a3+・・an　　n*(n-1)/2個
a1+a2+・・+an 　　　　　　 1個
の合計2^n個の数を考えます。上のa(n-2)やa(n-1)の括弧内は添字です。
この2^n個のの数を横一列に並べて数列とみなす方法の総数は（2^n）！です。
（2^n）！通りの並べ方のうち、「あるa1,a2,・・,anを選べば、この数列が広義単調減少（2^n-1個の”≧”で結ばれる関係）になる」ような並べ方は何通りあるでしょうか。

たとえばn=3のときは
0
a1,a2,a3
a1+a2,a1+a3,a2+a3
a1+a2+a3
の計8個の数について　8!通り数列がとりあえず考えられます。
その中で、
a1+a2+a3≧a1+a2≧a1+a3≧a1≧a2+a3≧a2≧a3≧0は、a1=4 a2=2 a3=1とすれば成立
a1≧a2+a3≧a1+a2+a3≧a2≧a1+a3≧a3≧0≧a1+a2は、どんなa1,a2,a3を選んでも不成立です。

回答No.3

noname#168349

2^n個の数をすべて「＞」で並べることを考えてみます。

(イ)2^n個の数のうち1組でも等しいものがある場合
2^n個の数をすべて「＞」で並べることはできない。

(ロ)2^n個の数がすべて異なる場合
第1項は、2^n個の数のうち最大のものでなければならない。
第2項は、残っている2^n-1個の数のうち最大のものでなければならない。
第3項は、残っている2^n-2個の数のうち最大のものでなければならない。
・
・
・
第2^n-1項は、残っている2個の数のうち最大のものでなければならない。
以上のことより、2^n個の数がすべて異なる場合は、2^n個の数をすべて「＞」で並べることはただ1通り可能である。

ここで問題になるのが、2^n個の数がすべて異なるようにするにはa1,a2,・・・にどのような制限がつくのか、ということです。

回答No.2

noname#168349

ANo.1です。
不成立の例だから、矛盾しててもいいです。
すみません。

回答No.1

noname#168349

直感的には、2^n個の数のうち等しいものがいくつ、何組あるかを数えあげないといけないのではないかと思います。等号で結ばれた部分が交換可能になりますから。

あと、最後の行が矛盾してますよ。
a1≧a2≧0ならばa1+a2≧0
です。

補足

ありがとうございます。
≧は、確かに等号の場合が面倒なので、なんなら質問文の「≧」を全て「＞」に変えた問題についてでもよろしいので、何かアドバイスがあればお願いします。