平方根の疑問

質問

私は理系で、大学の工学部に行ってた者で数学は得意でしたが、
最近疑問に思うことがあります。
平方根に関してですが、９は３、４は２と綺麗に割り切れるのに、
２は１．４１４・・・、３は１．７３２・・・と割り切れない。
この綺麗に割り切れるヤツと割り切れないヤツの２者には何の違いのあるのか？法則性があるのか？
この２者の違いを知りたいです。
判る方お願いいたします！！。
数学って基本的なことほど、難しいですね。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

割り切れると言っているのは、平方根をとると整数になる、
割り切れないと言っているのは、平方根をとると整数にならない、
という意味ですね。
割り切れるのは、素因数分解をしたとき、各素因数の指数がすべて
偶数の場合
割り切れないのは、素因数分解したとき、素因数の指数で、ひとつでも
奇数がある場合
です。
平方根をとるというのは、1/2乗することですので、指数法則を考えれ
ば分かると思います。
たとえば、
4=2^2
9=3^2
16=2^4
25=5^2
36=2^2*3^2=6^2
等は平方根をとっても整数になります。
要するに平方数になっている場合ですね。
6=2*3
8=2^3
10=2*5
12=2^2*3
等は素因数の指数で奇数のものがあるので、平方数ではなく、平方根を
とっても整数にはなりません。

お礼

前後してスイマセン。
回答していただいた順に点数を付けさせて頂きました。
ご了承ください。
にしても、No5の回答にはやられましたよ。
生涯勉強ですね。

回答No.5

sanori

こんばんは。

質問者様は、整数を整数で割り算したときに、なぜ答えが無限小数になることがあるか、ということは不思議ではないのでしょうか？

まず、
２^1　＝　２
２^2　＝　４
２^3　＝　８

両辺の対数（底は２）を取れば、
１　＝　log[2]２
２　＝　log[2]４
３　＝　log[2]８

そして、同様に、
２^(1/2)　＝　√２
１／２　＝　log[2]√２
です。

左辺は綺麗ですよね？

上記の
１　＝　log[2]２
の両辺を２で割れば、
１／２　＝　log[2]２　÷　２
　＝　log[2]２　×　１／２
　＝　log[2]２^(1/2)

当然のことですけど、
対数で考えれば、１／２乗、つまり、平方根は、割り算と同じことですよね。

お礼

あーーーーーーーーーーーー
そうゆうことこと事か？
自分の愚問に恥じます。
回答くださった方全てにスイマセン。
自分は、まだまだ勉強不足です。
これからも、勉強します。
これに懲りずに愚問に回答頂ければ幸です。

回答No.3

koko_u_

>平方根に関してですが、９は３、４は２と綺麗に割り切れるのに、
>２は１．４１４・・・、３は１．７３２・・・と割り切れない。

まずは「割り切れる」という表現がおかしいですね。
平方数は n^2 だからその平方根 n で「割り切れる」のは当たり前です。

自然数を k が与えられたときに、それが平方数かどうかを「判定」する方法があるのか
という質問ですか？

# 例えるなら、各桁の数を足し算して結果が 3 で割り切れたら元の数も割り切れる、といった風な。

回答No.2

Mr_Holland

自然数に開平できる条件をお知りになりたいのでしょうか。
　だとしたら、平方数の場合がそれに当たります。

　√ｘ＝ｎ　（ｎは自然数）とおきますと、両辺を自乗すれば、
　　ｘ＝ｎ^2
となりますので、ｘは平方数であることが分かります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%95%B0

お礼

No1,2共に回答くださった方、ありがとうございます。
私の求めている回答は、ちょっと違うのです。
お二人の回答は平方根が整数であることが前提の回答であるかと思います。答えが前ではなく、２や３が前です。
分かりづらいかと存じますが、引き続きお願いいたします。

回答No.1

kumipapa

「√n (nは整数）が綺麗に割り切れる」の意味が、「√nが整数」だということであれば、

√n が綺麗　⇔　n はある整数の二乗　即ち、n = 1, n = 2^2=4, n = 3^2=9, n = 4^2=16,...
√n が綺麗でない　⇔　n　は整数の二乗で表せない

これでは答えになっていないんでしょうね・・・。