図形の問題、面積比

質問

三角形ABCにおいて、∠Aは鈍角で、∠Bは30°である。点Cから直線ABに引いた垂線と直線ABとの交点をHとする。辺BCの中点をMとし、直線ACは三点、A、B、Mを通る円と点Aで接しているとする。

ACとHMの交点をK、直線BKとHCの交点をLとする。三角形HBKと三角形BCKの面積比は　ク：ケである。

よろしくおねがいします。

マークシートの問題で、途中まで分ったのですが、詰まってしましました。

解説には、”H、Cから直線BLに下ろした垂線の足、をそれぞれ、S、Tと、おくと、三角形HBK/三角形BCK＝

1/2BK*HS　/ 1/2BK*CT=HS/CT＝HL/CL　よって、ク:ケ=HL：CL　”

質問ですが、どうして、HSやCTを使うことで三角形HBK/三角形BCKを求めることができるのでしょうか？

また、HS/CT＝HL/CLは、どのように考えたら、そのように分るのですか？

頂くご回答に役立つかどうか分りませんが、途中までに解けた所を書きます。

三角形MACと三角形ABCは相似です(∠MAC＝∠ABC、∠MCA＝∠ACBより)。三角形HACは直角二等辺三角形です。

よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

＞HSやCTを使うことで三角形HBK/三角形BCKを求めることができるのでしょうか？
底辺が同じ長さの三角形の面積比は高さの比になるからです。
HS/CTは△HBKと△BCKの高さの比で、底辺BKは共通です。

＞また、HS/CT＝HL/CLは、どのように考えたら、そのように分るのですか？
直角ΔHSL∽直角ΔCTL（∵HS||CT,∠HSL=∠CTL=90°）から出てきます。

問題の解答の流れの続きは以下のようになります。
方針）
分かること
AC^2=CM*CB
AH=HM=BM=CM=CH=BC*(1/2)

BH=BC*(√3)/2 (∵直角ΔBCHで∠B=30°，∠H=90°)
AB=BH-AH=BC*(√3)/2-BC*(1/2)=BC*(√3-1)/2
直角ΔBCHでチェバの定理を適用すれば
(HL/CL)*(CM/BM)*(AB/AH)=1
(HL/CL)*(1/1)*{(√3-1)/2}/(1/2)=1

∴HL/CL=1/(√3-1)=(√3+1)/2

お礼

ありがとうございます！！本当によく分りました！！

大変丁寧にありがとうございました。

回答No.3

info22

#2です。
補足です。

問題の中のクケは
＞HS/CT＝HL/CL　よって、ク:ケ=HL：CL
HS:CT＝HL:CLですから
クはHL
ケはCT
であることは言うまでもないですね。

回答No.1

noname#71905

問題全体が明確でないので、とりあえず流れだけですが・・・
（落ち着いて図をながめれば、ご自身で気がつかれると思います)

(1)△HBKと△BCKの面積比を考えると
　△HBKの面積は、底辺BKとすると、高さがHSで、(1/2)＊BK＊HS
　△BCKの面積は、底辺BKとすると、高さがCTで、(1/2)＊BK＊CT
　△HBK：△BCK＝HS：CT

(2)HSとCTの比を考えると
　△HSL∽△CTL　から、HS：CT＝HL：CL

補足

こんばんは、ご回答ありがとうございました。

出来ました！！ありがとうございました。