３項間漸化式

質問

Ａn=４Ａn-1－４Ａn-2－１　というものなのですが

Ａn－２Ａn-1－１=２（Ａn-1－Ａn-2－１）と
変形してみてＢｎと置いたのですがその後うまく
いきません。というよりも最初の変形自体が違う
のかもしれませんが。一般項の出し方お願いします

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

jet-ninjin321さん、こんにちは。

＞Ａn=４Ａn-1－４Ａn-2－１　というものなのですが

＞Ａn－２Ａn-1－１=２（Ａn-1－Ａn-2－１）と
変形してみてＢｎと置いたのですが

変形の仕方は、それでＯＫだと思います。
Anのことを、a[n]と書くことにしますね。
問題は、a[n]=4a[n-1]-4a[n-2]-1
変形して、
a[n]-2a[n-1]-1=2{a[n-1]-2a[n-2]-1}
=2*2{a[n-2]-2a[n-3]-1}
=・・・・=2^(n-2){a[2]-2a[1]-1}
のようになるはずですね。

a[n]-2a[n-1]-1=2^(n-2){a[2]-2a[1]-1}
a[n]-2a[n-1]=2^(n-2){a[2]-2a[1]-1}+1
この両辺を、2^nで割ってみましょう。

a[n]/2^n-a[n-1]/2^(n-1)=(1/4)*{a[2]-2a[1]-1}+1/2^n

ここで、a[n]/2^n=b[n]とおく。←数列{a[n]}を2^nで割った数列
すると、
b[n]-b[n-1]=(1/4)*{a[2]-2a[1]-1}+1/2^n
　　　　　　　　　　　↑
ここの部分は長ったらしいので、定数Ｃとしますね。
(1/4)*{a[2]-2a[1]-1}=Cと仮におきましょう。

すると、
b[n]-b[n-1]=C+1/2^n
b[n-1]-b[n-2]=C+1/2^(n-1)
・・・・・・・
b[2]-b[1]=C+1/2^2
---------------------------上から下まで辺辺足すと
b[n]-b[1]=C*(n-1)+1/2^2+1/2^3+・・・+1/2^n
　　　　　　　　　　　　　　　　↑
ここの部分は、初項1/4公比1/2の等比数列(n-1)項分の和

b[n]-b[1]=(n-1)C+(1/4){1-(1/2)^(n-1)}/{1-(1/2)}
=(n-1)C+(1/2){1-(1/2)^(n-1)}
また、b[1]=a[1]/2であったから、

b[n]=(n-1)C+1/2-(1/2)^n+a[1]/2

このことと、c=(1/4){a[2]-2a[1]-1}
と、おいたことから、計算できると思います。
頑張ってください！！

お礼

詳しい回答ありがとうございます。
明日ちゃんと自分の手で解いてみたいので
それから締め切ります。ありがとうございました

回答No.5

keyguy

初期設定:

一般解という以上初期条件は任意です。
一般解さえ求めておけば初期条件が与えられればその初期条件を満たす解は代入して得られる式から一般解の任意係数が求まりその初期条件を満たす解が得られるのです。
質問にも初期条件がないのになぜそのような疑問がでてくるのでしょうか？

お礼

手元の問題には最初の二つの項が書いてあったのですが
ここに書き忘れていました。
それにしてもそういう事実があるなんてしりませんでした
ありがとうございました

回答No.4

keyguy

明日ちゃんと自分の手で解いてみたい：

既にＮｏ．２とＮｏ．３で回答がでてしまったので自分で解くのなら理解を確実にするために新しい問題を提示しましょう。

問題：
a[n]-7a[n-1]+18a[n-2]-20a[n-3]+8a[n-4]=1
の一般解を求めよ。

補足

第４項までの初期設定はいらないのですか？

回答No.2

keyguy

An-4An-1+4An-2=-1でしたね。
従って特解の部分だけ修正しなければなりません。
特解１を特解－１と読み直してください。

回答No.1

keyguy

An-4An-1+4An-2=1の
斉次式
An-4An-1+4An-2=0の一般化解を求める。
An=x^nとすると特性方程式は
x^2-4x+4=0
これを解き
重根x=2が求まる。
よって斉次式の一般解は
An=(C+Dn)2^n
一方元の式の特解は
An=1
よって元の式の一般解は
An=1+(C+Dn)2^n

ケアレスミスは有っても不思議ではないので
やり方だけ受け取ってください。

お礼

早速、ありがとうございます。
参考にします