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↓分数表記がめちゃくちゃでした
漸化式の問題で分からないのがあります。 解説よろしくおねがいします。 問題 １ １ ３ α1＝ ━，━━━＝━━＋２ によって定義される数列｛αｎ｝の一般項を求めよ ２ αn+1 αn
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こんにちは。すごい！！分数のとこ、苦労して書いてくれたんですね。 でも、スラッシュ/を使えば、分数を表現できますよ。 さて、分母に数列がきているので、1/αn=βnとおきます。 逆数を数列に考えるのです。すると与式は β1=2,βn+1=3βｎ＋２と変形できますから、さらに βn+1 +1 =3(βn +1) となり、｛βn+1}が等比数列であることを示しています。 初項３、公比３ですから、一般項は3^nとなります。 したがってβn=3^n-1 αn=1/(3^n-1) となるでしょう。
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- finalanswer
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回答No.2
β[n] = 1/α[n] とおくと、 β[1] = 2、β[n+1] = 3β[n]+2 これを変形して β[n+1]+1 = 3(β[n]+1) となるので、数列{β[n]+1}は、初項3、公比3の等比数列。 ここまでくれば、簡単に求められます。 β[n]+1 = 3*3^(n-1) = 3^n よって α[n] = 1/(3^n-1)
- tamagawa49
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回答No.1
bn=1/αnとおきます。 するとb1=2、 bn+1=3bn +2 という漸化式になります。この両辺に１を加えると、 bn+1 +1=3(bn +1) ここでさらにcn=bn +1とおけばc1=b1 +1=3、cn+1=3cn となるのでcnは初項3、公比3の等比数列です。よってcn=3^n bn=cn -1なので3^n -1 よって、an=1/3^n -1 となります。
お礼
皆さんご回答ありがとうございました。 解き方がちょっぴり数学的帰納法みたいですね。 なんとか理解できました。 自分でできるかやってみます。