極座標での上端・下端の求め方は?

質問

こんにちは。

[問] Use polar coodinates to find the volume of the region bounded below by the interior the curve r=2sin2θ in the first quadrant,and bounded above by the surface z=yx^3+xy^3.

という問題です。意味は
「第一象限でのr=2sin2θの内部で下の閉じ込められる領域と曲z=yx^3+xy^3の上に閉じ込められる領域の体積を極座標を使って求めよ。」
つまり、r=2sin2θは閉曲線で曲面z=yx^3+xy^3をz軸の正方向からxy平面に向かってr=2sin2θで切り抜いた立体(つまり、柱)の体積を求めよ。という事だと思います。

解答は私なりに
∫∫(R,yx^3+xy^3)dydx=∫∫(R,xy(x^2+y^2))dydx
(但し、Rはr=2sin2θの内部)

=∫∫(R,rcosθ・rsinθ・r^2・rdrdθ)
(∵x=rcosθ,y=rsinθ,dydx=rdrdθより)

=∫∫(R,r^5cosθsinθ)drdθ

そして、rの区間は最小が0、最大で2なので0≦r≦2,
θの区間はθからπ/2で一周するので0≦θ≦π/2

=∫{θ=0 to θ=π/2,∫(r=0 to r=π/2,r^5cosθsinθ)dr}dθ

と考えたのですが後ろの解答には

∫∫(R,r^5cosθsinθ)drdθ
=∫{θ=0 to θ=π/2,∫(r=0 to r=2sin2θ,r^5cosθsinθ)dr}dθ
=254/105

という式が書かれてます。私のとrの上端が異なってます。
積分区間の上端・下端はどうやって求めるのでしょうか?
最大・最小の所ではダメなのでしょうか?

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

>そして、rの区間は最小が0、最大で2なので0≦r≦2,
これは、θを動かした時の最小値最大値ですよね。

∫(∫f(r,θ)dr)dθ
のように１変数ずつの積分に書き直す場合、
rの積分範囲は、θを固定した時にrのとりうる範囲です。

>=∫{θ=0 to θ=π/2,∫(r=0 to r=π/2,r^5cosθsinθ)dr}dθ
これでは(rの上端は2の誤植として)、半径2の円(の第1象限)上の積分になってしまいます。
※極座標で、(r=0,θ),(r=2,θ)と表わされる２点を結んでできる線分を、θ=0からπ/2まで回転させた時に得られる図形です。
この積分領域は問題で問われている積分領域Ｒとは違う図形ですよね。

お礼

遅くなりましてすいません。お陰様で解けました。
どうも有り難うございました。