y=(sin x)^2 - 2cos x

質問

y=(sin x)^2 - 2cos x

上の式を電卓を使わずグラフにしたいのですが、
座標(x,y)=(0, -2)を通る、ということだけしか分かりませんorz
本当に自分でバカだと思うんですが、
解法を教えてください……。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

グラフを書きたいんでしょ？
y = (sin x)^2 - 2cos x
= 1 - (cos x)^2 - 2cos x
= - (cos x + 1)^2 + 2
-1 ≦ cos x ≦ 1 で
cos x = -1 (x=(2n+1)π) のとき y は極大値 2
cos x = 0 (x=nπ+π/2) のとき y は 1
cos x = 1 (x=2nπ) のとき　y は極小値 -2
周期 2π でy=2,y=-2の間を振動する。
ちなみにグラフは上下対象には振動していない。
y=1から上は頭が潰れた形、y=1から下は上下に伸びた形になる。
加法定理で展開するのは目的が不明。残念だが、かえって複雑にしているだけでグラフを書く上では意味がないだろう。

お礼

回答ありがとうございます。
簡潔で、本当に分かり易い説明ありがとうございます！！
読んだ瞬間ビックリしました……って言うとアホさ加減がバレますね（笑）何度もしつこいかもですが、ありがとうございました！

回答No.4

info22

周期T=2πの周期関数で
x=2nπでy=-2
x=(2n-1)πでy=1
x=2nπ±(π/2)でy=1
x=2nπ±arccos(√2-1)[rad]≒360n±65.63[°]でy=0
(nは整数で n=0,±1,±2, ...)
となります。

描くのが面倒なら二次元のグラフを描くフリーソフトGRAPES(参考URL)を使えば　
(sin(x))^2-2*cos(x)
または
y=(sin(x))^2-2*cos(x)
と言った式通り入力すれば
グラフを書いてくれます。
（グラフは拡大・縮小自在で、横軸も「°」(度数法）、ラジアン（弧度法）いずれでも指定できます）。

また、パソコンにExcelが入って入れば、関数の式を入力して、グラフのプロットすることもできます。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お礼

回答ありがとうございます。
xを限定してしまえば、一応値は求められるんですよね；；　問題はそれをつなぐ線でして。GRAPESも電卓も変わらないじゃないですか～（笑）
でもexcelが使えることは知らなかったです。テストでは使えないけど、いじってみよ（笑）

回答No.2

sanori

こんばんは。

加法定理
cos(a+b) = cosa・cosb - sina・sinb
は覚えていますか？

a = b のとき
cos(2a) = (cosa)^2 - (sina)^2

ここで、三平方の定理　(sina)^2 + (cosa)^2 = 1　なので
cos(2a) ＝ 1 - (sina)^2 - (sina)^2 ＝ 1 - 2(sina)^2

よって、
(sina)^2 ＝ (1 - cos(2a))/2

y = (1 - cos(2x))/2 - 2cosx
= 1/2 - cos(2x)/2 - 2cosx

ここで、z = y - 1/2　と置きます。
z = - cos(2x)/2 - 2cosx
そして、-cos(2x)/2 のグラフと -2cosx のグラフの両方を描きます。
前者の周期はπ、後者の周期は２πです。
そして、あるｘにおける、-cos(2x)/2 と -2cosx の値を目で読み取り、それらの値の合計（両者の符合が逆の場合は引き算）に相当するｚの値をプロットしています。
両者の周期の最小公倍数が２πなので、ｚの周期は２πです。

仕上げに、ｚをｙに戻す、
すなわち、Ｘ軸を消してしまい、直線ｙ＝１／２　をＸ軸にしてしまえば完了です。

なお、
小生、計算が不得意ゆえ、上の式に間違いがあったらごめんなさい。
検算してくださいね。

お礼

回答ありがとうございます。
順を追って教えていただき、本当に感謝しています。
グラフを２つ描いてから、合計のグラフ出すの苦手なんですよねー（笑）でも、そういった方法でも挑戦してみようと思います。

回答No.1

gungnir7

代表的な点は暗記してしまいましょう。
これは数学というよりも知識です。

x=30度（1/6πのとき） sinx=1/2 cosx=√3/2
X=45度 (1/4πのとき） sinx=1 cosx=1
X=60度 (2/6πのとき） sinx=√3/2 cosx=1/2

後は教科書をみて各象限ごとに丸暗記。
単位円を書いてじっと関係を睨んでいると直に理解できるようになります。

物理でも数学でも三角関数は２πで１周してきますので
上記の関係をつかまれるのがコツです。

お礼

回答ありがとうございます。
うーん。教えていただいた内容は知っていたんですが；；
応用力がないので知識を生かすことができないんですよねorz