x=cosθ-sinθ y=cosθsinθの積分

質問

x=cosθ-sinθ y=cosθsinθ 面積の計算のしかたをおしえてください！

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

θを消去すると
x^2=1-2y　...(1)
xのとりうる範囲は
x=√2cos(θ+(π/4))...(2)と変形できるから
xの取りうる範囲は「-√2≦x≦√2」...(3)
x、yはsinθとcosθの差や積で表されるから周期2πの関数である。
従って点(x,y)は、θを変えたとき、
(1)の放物線の(3)の範囲の曲線弧上を周期2πで往復運動をする。

点(x,y)は曲線上を動くだけ（周期2πの往復運動）のため
この曲線が囲む領域の面積は存在しない（面積ゼロ)だから計算するまでもなく、「面積=0」です。

積分領域（の面積）が存在しない（面積=0）問題は愚問です。
問題に見落としはないですか？

求める面積が点(x,y)の軌跡の曲線、すなわち
　(1)の放物線の(3)の範囲の曲線弧
　y=(1-x^2)/2 (-√2≦x≦√2) ...(4)
とx軸が囲む面積であれば

　(4)とx軸の交点はy=0とおいてx=±1
　S=∫[-1→1](1-x^2)/2 dx
偶関数の積分なので
=[x-x^3/3][0→1]=1-(1/3)=2/3
となります。

回答No.3

yyssaa

済みません。回答No.2は間違いなので、無視して下さい。

回答No.2

yyssaa

＞x^2=cos^2θ+sin^2θ-2cosθsinθ=1-2y
y=1/2-(1/2)x^2
S=∫(x=a→b)ydx
a→bはθで決まる積分範囲。

回答No.1

alice_44

∫ydx を、θ で置換積分。