複素数の特異点について

質問

大学2年生です。テスト直前にピンチです。
問）次の周回積分を求めよ
∫1/(z-1) dz　積分範囲はz=3(cosθ +i sinθ) , 0≦θ＜2
この解において、
「被積分関数は、与えられた円とz=1を中心とする半径1の円に挟まれた領域で正則である。」
と、あるのですが、イメージできません。
z=1が特異点となるのでZ≠1となるのは分かるのですが、なぜその周りで半径1の円内にも存在しないといえるのでしょうか？
分かりにくい文章で申し訳ありませんが、アドバイスをお願いいたします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

＞積分範囲はz=3(cosθ +i sinθ) , 0≦θ＜2
0≦θ＜2π　…(A)
の転記ミスだと思いますが違いますか？
(A)が正しければ積分経路は、原点を中心とする半径3の円周です。
「正則」については
＞と、あるのですが、イメージできません。
イメージできないのは正則の意味が理解できていない為です。
正則の定義を教科書や参考書で復習しなおして下さい。
http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch2.pdf
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E9%96%A2%E6%95%B0

特異点のない連続な領域は複素関数 1/(z-1) の正則な領域です。
正則領域内では積分経路は任意に変形できますから
z=1の回りの反時計回りの円周の周回積分になります。
その周回積分経路内にz=1の特異点z=1が存在することになります。
積分は一次の特異点だけで値を持ち、留数定理により、
1/(z-1)の留数R=1から積分は
∫1/(z-1) dz = 2πiR = 2πi
となります。

参考URL：

http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathematics-2/Ch2.pdf

お礼

タイプミスです。申し訳ありません。
積分範囲は　0≦θ＜2π　です。
正則を復習しなおします。

皆様ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

テスト前にその状態では、確かにピンチかもしれません。
コーシーの積分定理を使って、手計算で値を導こうとしているようですが、
留数定理を使えば、答案は一行で済みます。教科書で定理を確認することを勧めます。
1/(z-1) が z=1 以外で正則であることは、実際に微分してしまえば確認できます。

回答No.2

koko_u_

>∫は左回りの周回です。
やんわりと typo を指摘してみたが駄目だったよ。

>この変形の前提である、「挟まれた領域」のイメージができず困っています
複素平面を書いて、線積分の軌道を書くだけ。

そして、この問題「より簡単に解くために、積分範囲を「z=1を中心とする半径1の円」に変換する」
必要など何処にもないと思われます。

回答No.1

koko_u_

>問）次の周回積分を求めよ
>∫1/(z-1) dz　積分範囲はz=3(cosθ +i sinθ) , 0≦θ＜2

周回になっとらんのですが。

周回になってれば誰でもわかる問題です。

補足

∫は左回りの周回です。

言葉が足りず申し訳ありません。計算で問題を解くことはできるのですが、より簡単に解くために、積分範囲を「z=1を中心とする半径1の円」に変換するのです。

閉曲線に沿った周回積分を求めるには、被積分関数が正則な領域内で積分路を適当に変形して、積分が簡単に実行できるような積分路を選んで、周回積分を実行してよい性質を利用する解き方です。

この変形の前提である、「挟まれた領域」のイメージができず困っています