積分

質問

ある問題を解いていたら∫「0→π/2」1/4sin^2θcos^2θdθになりましたが、そのあとどうしたら良いのか分かりません。
アドバイスおねがいします。因みに略解にはπ/32でした。

回答No.4

KappNets

＜元の問題は∬x^2dxdy(領域は(x^2+y^2)^2≦2xy,y≧0)＞
変数変換：x=r*cos(u), y=r*sin(u), dx*dy=r*dr*du
積分範囲変換：(x^2+y^2)^2<2xy >>> 0<r<(2*sin(u)*cos(u))^(1/2)
積分範囲変換：y>0 (& x>0) >>> 0<u<pai/2
まず r^3*drを上記積分範囲で積分すると簡単に
rmax^4/4=(((2*sin(u)*cos(u))^(1/2))^4/4)=(sin(u)*cos(u))^2
となります。つぎに
(sin(u)*cos(u))^2*(cos(u))^2du=(sin(u))^2*(cos(u))^4du
を上記積分範囲で積分すると
pai/32
となります。この積分はmathematicaにやらせるのが最も簡単。机上では２方法あり、第１案は
(sin(u))^2=(1-cos(2u))/2, (cos(u))^2=(1+cos(2u))/2, (cos(2u))^2=(1+cos(4u))/2, (cos(2u))^3=(3cos(2u)+cos(6u))/4
を使って次数を下げ、cos(2u), cos(4u), cos(6u)の積分が0になることを使いますと、
(1/8)*(1-1/2)
の積分となり、(pai/2)をかけると上記解が得られます。少し手間はかかりますが、難しくはありません。第２案は
tan(u)=z
と置くやり方。
du=dz/(1+z^2), (sin(u))^2=z^2/(1+z^2), (cos(u))^2=1/(1+z^2)
を代入すると
z^2/(1+z^2)^4dz
の積分になります。積分範囲は0<z<無限大。面倒だが頑張れば上記の解に辿り着くことが出来ます。もっと楽な方法はないかな？

お礼

丁寧に回答していただきありがとうございます。
計算してみたら何とかできました。
助かりました。

回答No.3

KappNets

sin^2tという書き方は何でしょう？(sin(t))^2ということなのでしょうね。（少し迷いました。）

さて
(1/2)*(sin(t)*cos(t))^2 dt
あるいは
(1/2)*(0.5*sin(2*t))^2 dt
を0からpai/2まで積分するとpai/32になります。（変形が面倒なのでmathematicaにやって貰いました）

(1/4) とあるのが変なのかな。２倍だけ狂います。

回答No.2

exodus55

no.1の方の変形はあっています。元の問題を変形して「∫「0→π/2」1/4sin^2θcos^2θdθ」になったんですよね？これまでに行くまでに間違っているんじゃないでしょうか？元の問題を書いてみてください。

補足

元の問題は∬x^2dxdy(領域は(x^2+y^2)^2≦2xy,y≧0)
です。お手数ですがお願いします。

回答No.1

debut

2sinθcosθ=sin2θなので、sinθcosθ=(sin2θ)/2
→sinθ^2cos^2θ=(sin2θ)^2/4
それから、sin^2A=(1-cos2A)/2で　A=2θ　とみれば
(sin2θ)^2=(1-cos4θ)/2
ということで、
1/4sinθ^2cos^2θ=(sin2θ)^2/16=(1-cos4θ)/32と次数を下げる
ことができます。

補足

確かに次数は下げられましたが計算してみると
=∫「0→π/2」1/4sin^2θcos^2θdθ
=∫「0→π/2」1/4*(sin2θ)^2/4dθ
=∫「0→π/2」(sin2θ)^2/16dθ
=∫「0→π/2」(1-cos4θ)/32dθ
=[1/32θ-1/128sin4θ]「0→π/2」
になり略解とは合いませんでした。
どういうことでしょうか？