確率で勘での正解を含まない正解率の出し方は？

質問

例えば、三択問題が5問あります。答える人は確実にわかっている答えを選ぶときもあれば、勘で答えて間違えるときもあれば、勘で答えて正解することもあります。
　5問中4問正解しても、勘で正解しているのかそれとも本当にわかっていて正解しているのかわかりません。4問正解では正解率80%ですが、そのうち運の要素を含まない正解率を出すにはどうすればいいと思いますか？文献やURLを教えていただけたら幸いです。

回答No.10

kts2371148 · ベストアンサー

なるほど、確かにNo.7さんの方法は一番すっきりしていますね。

まず、
>> No.7様の方法なら厳密さが足りないのでしょうか？
とのことですが、実は、No.7さんの回答とNo.3さんの回答は同じ意味です。
そして、例えば５問中１問しか正解できなかった場合、この方法で計算すると、
運の要素を含まない正解数は －１問 となってしまいます。
No.3さんの
>> (2)は負の値になりえるところは問題かもしれませんが。。。
の通りになってしまいます。

そして、No.7さんも言われているように、
>> もちろんこれは確率の平均でありすべて勘で４問正解することもありえます。
ということですから、No.7さんは、自分の回答に厳密さが足りないことを承知の上で回答されたわけです。
運の要素をきちんと排除するには、私の前回の回答のようなことが必要になるでしょう。

さて、
>> Ｃとはどういう意味なのでしょうか？
については、字数制限もあるので、
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugaku1/kakuritu/combi1/combi1.htm
のリンクを貼るだけにしておきます。

私の回答の続きを書いておきます。

ここからは原始的な方法をとります。
純粋な正解数を「純」、運の要素を含んだ正解数を「運」と略します。

純が 0 ならば運は 24～43 の範囲
純が 1 ならば運は 25～43 の範囲
…
純が 99 ならば運は 99～100 の範囲
純が 100 ならば運は 100

をすべて２次元の表にし、それを逆からみます。すると、

運が 23 以下であることはあり得ない（両端 2.5% を切り捨てたので）
運が 24 ならば 純は 0
運が 25 ならば 純は 0～1
運が 30 ならば 純は 0～8
運が 40 ならば 純は 0～22
運が 50 ならば 純は 11～36
運が 60 ならば 純は 28～50
運が 70 ならば 純は 44～63
運が 80 ならば 純は 61～77
運が 90 ならば 純は 78～89
運が 100 ならば 純は 100

となります。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.9

kts2371148

「三択問題が 5 問あります」の例では、運の要素を含まない正解率を出すのは無理でしょう。
でも、「三択問題が 100 問あります」ならある程度の情報が得られます。

問題 100 問中の純粋な正解数を 100 問中 t1 問、わからなくて勘で答えた問題数を t2 問であるとします。
すると、当然のことながら、t1 + t2 = 100 です。
そして、運の要素を含んだ正解数は、t1 から 100 までの値のどれかです。
運の要素を含んだ正解数が t である確率を P(t) とすると、

P(t1) = [t2]Ｃ[0] (2/3)^(t2) (1/3)^(0)
P(t1+1) = [t2]Ｃ[1] (2/3)^(t2-1) (1/3)^(1)
…
P(99) = [t2]Ｃ[t2-1] (2/3)^1 (1/3)^(t2-1)
P(100) = [t2]Ｃ[t2] (2/3)^0 (1/3)^(t2)

です。

例えば、t1 = 50 の例を考えてみます。
t1 ≦ t ≦ 100 の範囲のうち、P(t1) や P(100) などになる確率は小さくなります。
そこで、大はずれや大当たりは起こらないものと決め付けてしまいます。
そしてさらに、

P(t1) + P(t1+1) + … + P(t3) ≦ 0.025　（つまり、2.5%）
P(t4) + … + P(99) + P(100) ≦ 0.025　（つまり、2.5%）

であるならば、運の要素を含んだ正解数が
t , t+1 , t+2 , … , t3 および t4 , … , 98 , 99 , 100 であることは起こらないものと決め付けてしまいます。
両端の 2.5% ずつを起こらないと決め付けるわけです。

実際に計算すると、t ≦ 59 および t ≧ 73 は起こらないと決め付けることができ、
（両端の 2.5% ずつは切り捨てたので）95% の確率で、60 ≦ t ≦ 74 であると言えます。

これを統計学的用語で言うと、
「運の要素を含んだ正解数の 95% 信頼区間は、[60,74] である」
といいます。上記の方法を区間推定と言います。

でも、質問者さんがお尋ねになっているのは、上記と逆のことですね。
そこで…

この辺で字数制限のため、もう少し知りたい場合は補足をお願いします。

補足

回答ありがとうございます。数学力がないため理解できない部分があります。
P(t1) = [t2]Ｃ[0] (2/3)^(t2) (1/3)^(0)
P(t1+1) = [t2]Ｃ[1] (2/3)^(t2-1) (1/3)^(1)
…
P(99) = [t2]Ｃ[t2-1] (2/3)^1 (1/3)^(t2-1)
P(100) = [t2]Ｃ[t2] (2/3)^0 (1/3)^(t2)
の部分のＣとはどういう意味なのでしょうか？
申し訳ないのですが、皆様が回答されている方法はそれぞれ違うのですが、No,7様の考え方なら理解できました。No,7様の方法なら厳密さが足りないのでしょうか？

回答No.8

Ishiwara

方法はあります。
「尤度（ゆうど）」または「ベイズの定理」で検索してみてください。

回答No.7

jokyoju

三択問題で答えがわからない場合の正解率を1/3と考えれば
勘で答えて正解する率と不正解となる率は１：２となるので
不正解となった数の１/2だけ勘で正解になったものがあるはずです。
5問中4問正解であれば正解のうち0.5問は勘で正解したため
3.5問の正解となり70％の正解率です。

もちろんこれは確率の平均でありすべて勘で４問正解することもありえます。

また三択問題で明らかに１個は違うとわかり２つの中から勘で答えることも実際にはありえるので正解がわからない場合の勘で答えて正解する率は選択肢の作り方にも大きく影響するのではないでしょうか。

回答No.6

staratras

まったくわからない人が5問とも勘で解答すると仮定して、１問あたりの正解の確率を１／３としますと、80点（4問正解）の確率は約４．１５％になるかと思います…。問題数と選択肢の数が少ない試験では、まぐれ当たりのケースも無視できないので、真の理解度は計りにくいということですね。

この分析は数学的にはいくつかの仮定(条件）をつけ加えてモデル化すればできるかと思いますが、数学を離れて現実の問題として考えると、「正しく理解している」かどうかと「(本人が）正しく理解していると思っている」との区別をどうつけるかが難問だと思います。つまり誤答には「わからないので勘で選んだ」誤答だけでなく「間違って思い込んでいたための」（本人は正しく理解していると思っている）誤答も少なからずあります。この両者を同一視するのは試験の目的が理解度を調べるためだとしたら本来はおかしいのですが、どうしたらよいのでしょうか。

回答No.5

theweak

私は、次のような話を聞きました。

貨幣を投げたとき、表の出る割合は１/２であるという真理があるわけではない。
表の出る割合なんか分かりませんので、ここでは仮に１/２ということにしましょう。そう仮定したなら、２枚投げたとき「表表」と出る割合は１/４であるということが結論として言えます。
あることを仮定し、そこからはこのようなことを結論づけることが出来ます。そういう論理の展開の積み重ねが数学であると・・・
どれが真理への道か、という議論は数学になじまない。

勘で答えたか、わかってて答えたか、どのように仮定するかによって、いくようにも正解率は出るでしょう。

回答としてはご不満を持たれることと思いますが、「確率」と「人の心の内での出来事」は問題としてなじみません。

回答No.4

Quattro99

わからない問題は勘で答え、その正解率が1/3だとした場合、不正解率は2/3です。全体の不正解率が20％のとき、この20％はわからない問題を勘で答えて間違えたということになるので、これが確率通りに起きたことだとすれば、わからない問題は全体の30％あったことになります。なので、確実にわかった問題は70％ということになるのではないでしょうか。
問題数が5問の場合、前述の仮定の確率通りのことは起きないことになるのではないかと思います。

回答No.3

incd

このデータからでは出しようがないですね。

近い考え方としては、こういうのはどうでしょう。
回答者が答えを「知っている」比率をpとします。残りの(1-p)については全く知識がなくて、あてずっぽうでしか答えられません。この場合には選択肢の数をk として、1/k の確率で正解します。
すると、１問に正解できる確率は、
p × 1 + (1-p) × (1/k) = [ (k-1)p + 1 ]/k　…(1)
この人の正解率がqだったとすれば、これは(1)に近い値になると思われるので、
q = [ (k-1)p + 1 ]/k として解いてみます。
すると
p = (kq -1)/(k - 1)　…(2)
(2)を正解を知っている率の予想値としてしようしてはどうでしょう。

　※ちなみに、q = 1/k （あてずっぽうと変わらない正答率）だと p 　　= 0（全然知らない）、q = 1（全問正解）だと p = 1 になりま　　　す。
　　また、k → ∞ となると、p = q ですが、これは選択肢を設けずに　　自由記述にする場合に対応します。
　　(2)は負の値になりえるところは問題かもしれませんが。。。

この考え方では、回答者は答えを「確実に分かっている」か「全く分からない」の２パターンしかないですが、実際には自信の度合いはその中間に来ることもあるかもしれないですね。そういうときの扱いを考えるともっとややこしくはなりますが、対処のしようはあると思います。

文献については分かりません。何の分野なんでしょう。統計学かな、という気はするんですが。

ちなみに、うちの先生は勘で正解することのないように、不正解の場合には減点する試験を作ります。そうすると自信がない人はその問題に回答しなくなりますから、正答率が「知っている」率に近くなります。

回答No.2

rabbit_cat

分かってる問題の正答率は１、分からない問題の正答率は1/3としてみます。
問題が本当にわかる確率をr1としたとき、（みかけの）正答率r2は、
r2 = r1 + (1-r1)*1/3
です。
あとは、みかけの正答率r2から最尤法かなんかでr1を出せばいいのでは。

回答No.1

neKo_deux

・後で答え合わせする
・分からない問題には間で解答しない
とか？

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> 文献やURLを教えていただけたら幸いです。

Ａ、Ｂ２つのサイコロを振ったら合計は７だった。
それぞれの正確な出目は？

に答えが無いのと一緒かと。