対称軸

質問

f(t)+f(2π-t)=2π
g(t)=g(2π-t)

をみたすなら、x=πについて対称である、と書いてありましたが理由が分からないので教えてください。この関数は媒介変数表示されたもので、x=f(t),y=g(t)であります。

宜しくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

πを真ん中にして、xと対称の位置にある数は何でしょうか？
xはπからx-πだけ進んだところにあり、πからx-π戻った数は、
π-(x-π)=2π-xです。
すなわち、xと2π-xがπを真ん中にして対称な位置にある数です。

あるいは次のように考えても良いです。
xとx'がπを真ん中にして対称な位置にあるとき、xとx'の平均はπなの
で、(x+x')/2=π。これより、x'=2π-x

このπを真ん中にして対称な位置にあるx,2π-xに関して、yが同じにな
る、すなわち、y(x)=y(2π-x)ならば、y(x)は直線x=πに関して対称と
言えます。

お礼

ありがとうございました。no3で理解できました。

回答No.2

zk43

f(t)+f(2π-t)=2πにおいてt=πとすると、
f(π)+f(π)=2π
f(π)=π
よって、媒介変数t=πのとき、x=f(t)はπの値をとる。
このとき、g(t)=g(2π-t)においてt=πとすると、g(π)=g(π)だから
矛盾は起きていない。
f(t)+f(2π-t)=2πより、
f(t)-π=π-f(2π-t)
よって、x軸上で見ると、f(t)とf(2π-t)がπを真ん中にして対称な位
置にある。
すなわち、媒介変数がtと2π-tのとき、xはπを真ん中にして対称な位
置にある。
そして、このときg(t)=g(2π-t)であるというので、(f(t),g(t))と
(f(2π-t),g(2π-t))は平面で見て、直線x=πを軸として対称な位置に
ある。
tがπから増加するとき、2π-tはπから減少するので、
曲線(f(t),g(t))はt=πのとき直線x=πを横切って、この直線に対称な
曲線となる。

回答No.1

info22

x=πに対称であることを示すには
x ⇒ 2π-x と置き換えたときのy(2π-x)=y(x)であることを示せばよい。

f(t)+f(2π-t)=2π…(1)
g(t)=g(2π-t)…(2)

x=f(t)のときy=g(t)
xを2π-xで置換すると
2π-x=2π-f(t)
　=f(2π-t) ((1)より）

従って
y(2π-x)=g(2π-t)
　=g(t)=y(x)　((2)より）
（終わり）

補足

みなさんありがとうございます。

x=πに対称であることを示すには
x ⇒ 2π-x と置き換えたときのy(2π-x)=y(x)であることを示せばよい。

この理由が分かりません。

お願いいたします。