どのような線形関数fもf(0,0)=0を満たす？

質問

どのような線形関数fもf(0,0)=0を満たすことを示せという問題があるのですが、回答の仕方が見当もつきません。
線形関数についての理解が乏しいのでよかったら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

taka517 · ベストアンサー

２変数の線形関数ならば
f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z),
f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),
f(cx, y) = f(x, cy) = cf(x, y)
をみたすことになります。

もし、f(0,0)=k (kは0でない定数)ならば、
線形性をみたすには１つめの式を用いて、
f(0,0)=f(0+0,0)=f(0,0)+f(0,0)=2k
これよりk=2k、つまりk=0でなくてはならず、
これはkが0でないことに矛盾します。
よってfは線形関数でないということになります。

もしくは、３つめの式を用いて
f(0,0)=f(a*0,0)=af(0,0)=ak (aは1でない定数)
となり、kが0でないことに矛盾、よってfは線形関数でない。
としても良いでしょう。

どちらにせよ
「f(0,0)=0でない」→「fは線形関数ではない」
なので、その対偶を取ることによって
「fが線形関数である」→「f(0,0)=0である」
となります。

・・という感じだったと思いますけど・・。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%80%A7

お礼

回答ありがとうございます。理解が深まりました。
今後は自力で解けるよう努力いたします。

回答No.3

zk43

fは２次元の線形空間R^2={(x,y)|x,y∈R}から1次元の線形空間Rへの線
形写像とする。
R^2では(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)というような演算になっている。
fが線形写像なら、f(((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,y1)+f(x2,y2)となるから、
f((0,0)+(0,0))=f(0,0)+f(0,0)
また、(0,0)+(0,0)=(0,0)だから、
f((0,0)+(0,0))=f(0,0)
よって、f(0,0)+f(0,0)=f(0,0)
両辺からf(0,0)を引くと（f(0,0)は実数である。）、f(0,0)=0

お礼

回答ありがとうございます。理解が深まりました。
今後は自力で解けるよう努力いたします。

回答No.1

rabbit_cat

ｆは双線形関数ですか？
線形の定義式からほぼ明らかなんですが、まず、線形関数の定義は分かっていますか？

お礼

どうも初歩的なものを理解していないようです。