部分分数分解

質問

よくわからないのでおしえてください。

たとえば
1/(x-2)^2*(x-1)=A/(x-2)+B/(x-2)^2+C/(x-1)と成るらしいですが、何ででしょうか。両辺の次数をそろえているようなことを聞いた覚えがありますが良く分かりません。

お願いします

回答No.4

Meowth · ベストアンサー

1/(x-2)^2*(x-1)
もとの分母が3次式
係数は、3次　2次　1次　0次　
の４つ
分子は2次以下。2次式として、係数は
2次　1次　0次　
の３つ。
部分分数に分けたとき
A/(x-2)+B/(x-2)^2+C/(x-1)
とすると、未知数３つ
係数３つで
すべて確定します。
A/(x-2)+（Bx+D)/(x-2)^2+C/(x-1)
とおくと、未知数４でできる方程式は３つ
なので自由度が１つ余計にあります。
ということで、
A/(x-2)+B/(x-2)^2+C/(x-1)
とおけば、確定できるので、Bを1次式で
おかなくても大丈夫です。

分母が2次でたとえば
１/(x^2+1)
のようなときには
これより低い次数の因数がないので
(ax+b)/(x^2+1)
と1次式でおいてください。

今回の問題の場合は、定数でいいです。
（混乱させてすみません）

お礼

ありがとうございます。まとめると、

すべて定数項に知るためには

もとの分母が3次式
係数は、3次　2次　1次　0次　
の４つ
分子は2次以下。2次式として、係数は
2次　1次　0次　
の３つ。

これと分母の次数のほうが1つだけ大きいということを覚えておけば完璧でしょうか。

回答No.3

Tacosan

真分数を仮定します.
もちろん 2乗の項だけでもいいんですけど, その場合には
(ax+b) / (x-2)^2
のように, 分子として 1次式を仮定する必要があります. ところが
(ax+b) / (x-2)^2 = a/(x-2) + (b+2a)/(x-2)^2
ですから,
１．2乗の項だけを仮定する (分子は 1次式)
２．1乗の項と 2乗の項の両方を仮定する (分子はどちらも定数)
は結果的に同じになります.

回答No.2

Tacosan

分母が (x-2) の項と (x-2)^2 の項を分けて考えているようなので, 分子は定数項で十分です＞#1.
混乱しそうだと思ったら, まず真分数 (分子は分母より次数が小さい) の形にしてから「分母は互いに素になるように選び, 分子は分母より次数が 1だけ小さい式を仮定する」のが吉.

お礼

みなさんありがとうございます。しかし、まだ理解できません。質問のしかたが悪かったです。

分子は分母より次数が 1だけ小さい式を仮定する、と言うのは覚えておきます。

解決できなかった点は、(x-2)^2,(x-2)と2回出てきている理由です。前者の2乗の項だけではいけないのでしょうか。

お願いします。

回答No.1

Meowth

－1/(x-2)+1/(x-2)^2+1/(x-1)
ちなみに、今回は定数ですが、
2次の分子は１次式にしておいたほうがいいです。
定数で求まれば、それまでですが、求まらないときは、
１次の可能性が残ります。
各因数と　あれば、そのべきを分母において、
１次は定数、２次は１次....の式を分子において
通分。左辺の分子と比較して恒等的に成り立つように
各係数を＝で結びます。