素数？？

質問

すみません、すごい単純な問題かもしれないんですけど…

[問]
P が素数とする。
ab が P で割り切れるならば、a は P で割り切れる。または、b は P で割り切れる。

この証明を考えているんですが、なんか当たり前というか…
素数 ←ってのが証明で必要だと思うのですが、
なかなかしっくりこなくて困っています。
どのように解けばいいのでしょうか？？

くだらない問題ですみませんが、よろしくお願いします。

回答No.11

zk43 · ベストアンサー

これは、くだらないどころではなく、すごく基本的かつ重要なことです。
（数学の最も根本にあるものと思える。）
Zを整数全体の集合とし、Zの部分集合Sで、
x,y∈Sならばx-y∈S
という性質を持つものを考えます。
すると、x-x=0なので、0はSの元です。
また、0-x=-xなので、xに対して-xもSの元です。
さらに、x+y=x-(-y)と書けるので、和x+yもSの元となります。
さらに、x+x+…+x=nx、-x-x-…-x=-nxにより、帰納的にxの整数倍も
Sの元となります。
つまり、「x,y∈Sならばx-y∈S」という性質を持つ整数全体の集合の
部分集合は、和に関しても閉じており、任意の整数倍についても閉じて
いることになります。（代数学では、このようなSをイデアルといいま
す。）
Sが0以外の元を含むとき、xと-xを含むので、必ず自然数を含みます。
そこで、Sに含まれる最小の自然数をmとします。
nをSの任意の元とするとき、nをmで割ったときの商をq、余りをrとすると、
n=qm+r（0≦r＜m）と表わせて、r=n-qmとなり、nもqmもSの元なので、
従って、その差n-qmもSの元、すなわち、rはSの元となります。
mがSに含まれる最小の自然数としたので、0<r<mではありえず、r=0と
なります。したがって、n=qmとなり、Sの任意の元はmの倍数です。
逆にmの倍数はSの元であるので、Sはmの倍数全体の集合となります。
以上まとめると、Sは{0}または、Sに含まれる最小の自然数の倍数全体
の集合となります。

つぎに、pがaを割り切らない、つまり、pとaが互いに素であるとして、
px+ay（x,yは整数）という形の数全体の集合を考えます。
(px+ay)-(px'+ay')=p(x-x')+a(y-y')となるので、これは上の集合Sの
性質を満たしています。
従って、S={px+ay|x,y∈Z}とおくと、SはSに含まれる最小の自然数mの
倍数全体の集合になっています。
pもaもSに属しているので、pもaもmの倍数、すなわち、mはpとaの公約
数となり、pとaの最大公約数である1以下になります。
よって、m=1。
よって、px+ay=1となる整数x,yがあります。
両辺にbを掛けると、
pbx+aby=b
pはpbxを割り切り、abyを割り切るので、pは左辺を割り切り、したがっ
て、右辺のbを割り切ります。
pがbを割り切らないとした場合でも、対称的な議論により、pはaを割り
切ることが分かります。

長々書きましたが、pとaが互いに素なとき、px+ay=1を満たす整数x,yが
存在するというところがポイントです。

この素数の性質により、初等整数論の基本定理（素因数分解の一意性）
も証明されます。

回答No.1

kumipapa

abが素数pで割り切れるからabはpを素因数として持つ。よって、a,bの少なくとも一方は素数pを素因数として持ち、pで割り切れる。

a,bが共に素数pを素因数として持たないとすると、abも素数pを素因数として持たない。するとabが素数pで割り切れることに矛盾する。よってa,bの少なくとも一方は素数pを素因数として持ち、pで割り切れる。

うーん、どんなもんでしょう。