xm^x=aのxについての解き方（べき・指数）

質問

表題のとおりです。
x * (m^x) = a
という数式を、「x=」の形にしたいのですが、私のおぼろな知識ではどうも整理の仕方が解らずこまっております。

学校では一応数IIBまでやり、個人でも数IIICの参考書を解いていたこともあったのですが・・・・。
すっかり記憶がなくなっています・・・。
どなたか、ご教授お願いできないでしょうか？

回答No.1

info22 · ベストアンサー

m＞0で考えます。
xは初等関数の範囲では表せません。
Lambert(ランベルト)のW関数
w(x),w(-1,x)
を使えばxについて解くことが出来ます。
ランベルトのW関数については参考URLをご覧下さい。

mは以下の場合分けが必要です。
m>1の場合
x*m^xの最小値をk(<0)とおけば
　a>0　→ x=w(a*ln(m))/ln(m)
a=0　→ x=0
0>a>k → x=w(a*ln(m))/ln(m),w(-1,a*ln(m))/ln(m)　←二価関数
　a=k　→ x=w(a*ln(m))/ln(m)
　a<k　→ xは存在しない。

m=1の場合　x=a

0<m<1の場合
x*m^xの最大値をh(>0)とおけば
　a<0　→ x=w(a*ln(m))/ln(m)
a=0　→ x=0
0<a<h → x=w(a*ln(m))/ln(m),w(-1,a*ln(m))/ln(m)　←二価関数
　a=h　→ x=w(a*ln(m))/ln(m)
　a>h　→ xは存在しない。

となります。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert's_W_function

回答No.2

info22

#1です。
補足します。
（ランベルトのW関数の計算は
Maple,その他の数式処理ソフトの中で実際の計算ができます。）

A#1の回答中
x*m^xの最小値kとそのときのx
x*m^xの最大値hとそのときのx

はmの場合分けの範囲により変わりますが、
文字mを使えば,
k,hとそのときのxは同じ式で表されます。
k,h=-m^(-1/ln(m))/ln(m)
このときのxは
x=-1/ln(m)
となります。

＃程度を超えるなら初等関数の範囲では表せないということで
お諦め下さい。

お礼

大変明快なご回答をいただきありがとうございます。
広く知られた逆関数があったのですか。
wikipediaにも「初等関数では表現できない」と書かれていますね。
ご助言いただきましたとおり、詳細な理解は諦めます（笑）。
雰囲気だけで我慢し、W関数をブラックボックスとして使わせてもらいます。
ずいぶんと勉強になりました。

補足

場合分けに関しましても詳細に例示いただき本当にありがとうございました。