PIDでない環のイデアル（素イデアル）の探し方
PIDでない環のイデアルの探し方についての質問です。
数多くの代数や数論の教科書および参考書に，
以下の例が挙げられています；
> 環 Z(√-5) において，
> 素イデアルは (3,1+√-5)，(3,1-√-5)，(1+√-5,1-√-5) の3種類あり，
> (3,1+√-5)×(3,1-√-5) ＝ (3)
> (3,1+√-5)×(1+√-5,1-√-5) ＝ (1+√-5)
> (3,1-√-5)×(1+√-5,1-√-5) ＝ (1-√-5)
> (1+√-5,1-√-5)^2 ＝ (2)
> なので，6 ＝ 2×3 ＝ (1+√-5)×(1-√-5) と2通りの素因数分解ができる
とりあえず，この例については，正しく理解しているつもりです。
（自分で手を動かして，(3,1+√-5)×(3,1-√-5) ＝ (3) などを確かめています。）
実際に手を動かすと
「なるほど，確かにイデアルになっているなぁ」とはわかるのですが，
しかし，この「イデアル」の探し方（見つけ方）がわかりません。
これは明らかなことではなく，
考えていればそのうちわかるようなことでもないと思えるのですが，
なにか「探し方のアルゴリズム」のようなものが存在するのでしょうか……。
ちなみに私の理解度について申しますと，
私が思いつく環はすべて整数環 Z と同じ「単項イデアル整域（PID）」ばかりで，
そうでない例は，上記の「環 Z(√-5) 」くらいしか知りません。
（手元にあるどの本を見ても上記の例ばかり載っているので……）
ということで，
（１）単項イデアル整域（PID）でない環（と，その素イデアル）の例
（２）PIDではない環の素イデアルは，どのように探せば（考えれば）よいのか
を，教えていただきたいと思います。
参考になる書籍（やWebサイト）を教えて頂くだけでも構いません。
どうぞよろしくお願いします。
お礼
回答ありがとうございました。