点Oから平面ABCへ下ろした垂線の足Hを求める公式

質問

三角形OABがあったとします。点Oから直線ABへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表したいとします。

ベクトルOA=ａ、ベクトルOB=ｂ、ベクトルOH=ｈとします。
Hは直線AB上にあるので、実数tを用いて、
ｈ＝tａ＋(1-t)ｂ
とかけます。
OH⊥ABより、内積を用いて、
ｈ・（ｂーａ）＝0
これらより、
t=ｂ・（ｂーａ）/｜ｂ－ａ｜^2
となり、結局、
ｈ＝｛ｂ・（ｂーａ）/｜ｂ－ａ｜^2 ｝ａ＋｛ａ・（ａーｂ）/｜ａ－ｂ｜^2 ｝ｂ
などと表すことができました。
別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、ｈ＝tａ＋(1-t)ｂの自身の内積をとり、tで微分したときの値が0であることからも、tが計算できます。

しかし、これを空間に拡張して、四面体OABCがあったとします。点Oから平面ABCへ下ろした垂線の足をHとするとき、Hをベクトルを用いて表すにはどうしたらよいのでしょうか？

表現方法がすごく煩雑になりそうですが、外積または行列式を用いれば簡単になり、また、さらなるn次元へ拡張した公式も推測できそうな気がするのですが。

回答No.3

noname#57316 · ベストアンサー

勝手に面積と決めてしまい、失礼しました。垂線の長さでしたね。
垂線の長さ、OHは、OA、OB、またはOC　のOH方向成分なので、
ａ、ｂ、あるいはｃと単位ベクトルｈの内積を取ると求まります。
ｈ={ａ・(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)}/|(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)|
分子は、ａ・(ｂ×ｃ)=[ａ,ｂ,ｃ]です。
そういえば、分母も|ａ×ｂ+ｂ×ｃ+ｃ×ａ|となりますね。
従って、改めて垂線の足をｈと書けば、
ｈ=[ａ,ｂ,ｃ]/|(ａ×ｂ)+(ｂ×ｃ)+(ｃ×ａ)|　となります。

回答No.2

noname#57316

四面体OABCのOからの垂線を考えます。
点A、B、CがOから見て、右回りにあるとします。
ベクトルｈは△ABCの外向き法線なので、この方向の単位ベクトルは
ｈ={(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)}/|(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)|
ただし、ａ、ｂ、ｃは、質問者が定義したベクトルと同じく
ベクトルOA=ａ、ベクトルOB=ｂ、ベクトルOC=ｃとしています。

ｈの大きさを、四面体の一面、例えば、△OABの面積を表わす
内向き法線ベクトルのOH方向成分とするのであれば、
(ｂ×ａ)/2　との内積をとればよいと思います。
このときは
ｈ={(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)}/|(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)|・(ｂ×ａ)/2

∴ｈ={(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)}・(ｂ×ａ)/{2・|(ｂ-ａ)×(ｃ-ａ)|}

回答No.1

Meowth

同じ方針でやりたいなら、
h-a=s(b-a)+t(c-a)
とおいて、これがb-a,c-aと直交することから
行列A=
(b-a)^2 (b-a)・(c-a)
(b-a)・(c-a) (c-a)^2
縦ベクトル
X=
s
t
縦一定ベクトル
B=
-a・(b-a)
-a・(c-a)
から
AX=B
Aの逆行列A^(-1)から
X=A^(-1)B
でs,tがもとまるので、Hが決まる。
ということができます。
別のもとめ方として、垂線とは最短線のことなので、
h=a+s(b-a)+t(c-a)
の自身の内積をとり、
L^2={a+s(b-a)+t(c-a)}・{a+s(b-a)+t(c-a)}
＝a^2+s^2(b-a)^2+t^2(c-a)^2+2st(b-a)・(c-a)
+2sa・(b-a)+2ta・(c-a)+2
sとtでそれぞれ偏微分したときの値が0であることからも、s、tが計算できます。
外積または行列式を用いれば簡単になります。

お礼

いろいろ考えて、
点Oから直線ABへ下ろした垂線の長さをそれぞれの点の座標から求める公式は理解できました。
それは△OABの面積と線分ABの長さが分かれば求まります。
まずは、2次元で考え、A(a[1],a[2]),B(b[1],b[2])とします。

|△OAB|=
(1/2)|a[1] a[2]|
|b[1] b[2]|

|AB|=√(L[1]^2+L[2]^2)
ここで、L[1]=
|a[1] b[1]|
|1 1 |
=a[1]-b[1]

次に、3次元で考え、A(a[1],a[2],a[3]),B(b[1],b[2],b[3])とします。

|△OAB|=(1/2)√(S[1]^2+S[2]^2+S[3]^2)
ここで、S[1]=
|a[1] a[2]|
|b[1] b[2]|

|AB|=√(L[1]^2+L[2]^2+L[3]^2)
ここで、L[1]=
|a[1] b[1]|
|1 1 |
=a[1]-b[1]

n次元でも行列式だったり和記号を使えば、一律的に書けそうです。

点Oから平面ABCへ下ろした垂線の長さをそれぞれの点の座標から求める公式も同様に書けそうです。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/234_sankaku.htm
http://www.nikonet.or.jp/spring/menseki/menseki.pdf
http://www.geocities.jp/me109e4jp/gyouretusiki.html
http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node3.html