断面二次モーメントの計算方法について

質問

最近大学で断面二次モーメントというのを習ったのですが、教科書には公式しか載っていなく、具体的な計算方法がわかりません。
円(pid^4/64)三角形(bh^3/36)の導出方法を教えてください

回答No.2

First_Noel · ベストアンサー

＞具体的な数式を教えてほしいです

底辺ｂ，高さｈの三角形の，底辺を軸とした断面二次モーメントＩを例とします．
底辺からの距離をｘとし，その部分での底辺以外の２本の線分の間の距離をｌ（ｘ）とすると，

ｌ（ｘ）＝ｂ－（ｂ／ｈ）ｘ

ですね．この位置での高さｄｘの微小長方形の面積をｄＳとすれば，

ｄＳ＝ｌ（ｘ）　×　ｄｘ
　　＝（ｂ－（ｂ／ｈ）ｘ）ｄｘ

この微小長方形の断面二次モーメントｄＩは，

ｄＩ＝ｘ＾２　×　ｄＳ

従って，上記の三角形の断面二次モーメントＩは，積分範囲は０～ｈで，

Ｉ＝∫ｄＩ
　＝∫ｘ＾２ｄＳ
　＝∫ｘ＾２（ｂ－（ｂ／ｈ）ｘ）ｄｘ
　＝（ｂｈ＾３）／３　－　（ｂｈ＾３）／４
　＝（１／１２）ｂｈ＾３

お書きになったのは，図心を通る軸周りの断面二次モーメントの公式だと思われますので，
上記のＩを，図心までずらした断面二次モーメントをＩ’とします．

Ｉ’＝Ｉ－（ｈ／３）＾２×ｂｈ／２
　　＝（１／３６）ｂｈ＾３

となります．
図心を通る断面二次モーメントが最小であることに注意して下さい．
（だから上記は「Ｉ＋・・・」ではなく「Ｉ－・・・」となっている．）

同じように，円の場合は，極座標で考えて半径ｒの位置にある円環の微小面積ｄＳは，
ｄＳ＝π（ｒ＋ｄｒ）＾２　－　πｒ＾２
　　＝π（ｒ＾２＋２ｒｄｒ＋ｄｒ＾２　－　ｒ＾２）
　　≒２πｒｄｒ
となります．ここで高次の微小項（ｄｒ＾２）は無視しています．
あとはご自分で鍛錬をば．
但しこちらは極座標であることに注意して下さい．

お礼

なるほど、自分でやっても全然計算が合わないと思っていたのはず新を通る軸周りのモーメントということだったのですね^^;円のほうもなんとかできそうです、ありがとうございました

回答No.1

First_Noel

微小面積を作って，それを領域で積分します．
円の場合は円環を半径方向に積分し，三角形は微小長方形を積分します．
台形でなく長方形で良いのは，三角形がまっすぐな線分で囲まれているからです．

補足

具体的な数式を教えてほしいです