断面二次極モーメントについて

質問

題名の通りです。中空の方は、外径d1内径d2とし中空でない方は径d1としました。中空の方の断面二次極モーメントI1=π×(d1^4-d2^4)/32、中空でない方の断面二次極モーメントをI2=π×d1^4/32とし、I1-I2を計算すると-π×d2^4/32となり、負になり、中空でない方が断面二次極モーメントが大きくなってしまいます。なにがおかしいのか教えてください。

回答No.2

Teleskope

参考までに；
「同じ量の材料で同じ長さに作った中空円筒と無垢の丸棒とどちらが曲げに強いか。」
これなら質量が同じだから I1 と I2 の比較になります。

円管1の外径d,内径a、丸棒2の径D として、
丸棒の断面積πD^2 ＝ 円管の断面積π(d^2－a^2)
だから
　　D^2 = (d^2－a^2)　　…(1)

I1の (d^4－a^4)の部分は
(d^4－a^4) = (d^2＋a^2)(d^2－a^2)
これに(1)式を使って
= (d^2＋a^2)D^2
さらに
=｛(d^2＋a^2)/D^2 ｝D^4
と強引に書きます。D^4が欲しいのです。D^4は丸棒のI2ですね。
見やすいように {…} を Ｋと書くと
= ＫD^4

ゆえに円管の断面二次極モーメントは、
I1 = (1/32π)ＫD^4 = ＫI2 = 丸棒のＫ倍強い。
です。

Ｋを整理すると
ｋ = (d^2＋a^2)/D^2　　d^2に(1)を使うと
= (D^2＋2a^2)/D^2
= 1＋2(a/D)^2
= 1＋2(穴ありの穴径/穴無しの外径)^2

ちなみに
I1とI2の差は
I1-I2 = I2(k-1) = 丸棒の 2(a/D)^2倍です。

回答No.1

Teleskope

え？肉が詰まってる方が曲げに強いのは当たり前でしょう。　よくある「中空材は『重さの割に』強い」ことの話でしょうか。もしそうなら 「 Iと質量の比」どうしを較べます。

話をぜんぶ単位長さで、外径 D、内径 d とします。
質量Mは 密度ρ×体積、体積＝断面積×長さゆえ
管の方は　M1 = ρπ(D^2－d^2)
棒の方は　M2 = ρπD^2

(D^4-d^4) = (D^2＋d^2)(D^2－d^2)
だから
比強度1 = I1/M1 = (1/32ρ)(D^2＋d^2)
比強度2 = I2/M2 = (1/32ρ)D^2

(比強度1)－(比強度2) = (1/32ρ)d^2 >0
ゆえ、
くり抜いた d の分だけ強くなった。
実は絶対強度は落ちてるんだけど、重さの割に強くなったと言える、ですね。

補足

一体何の経験者ですか？同じ断面積なら、中実より中空の方が断面二次極モーメントは大きい（ねじり剛性が強い）のです。重さの割にということではありません。