偏りのない標本点を選ぶ方法

質問

以下の条件をなるべく満たす60個の標本点を求める方法を教えてください。

1. 各標本点Xiは 0 <= Xi < 1
2. できるだけ多くの d (0 < d <= 1) に対して
Xi mod d
がなるべく一様分布に近くなる。
特に d=1 および d=1/60 に対しては一様分布に近いことが望ましい。

実際にしたいことは、ある現象の時間変化を60個のサンプルで評価したいのですが、
サンプルを等間隔にすると対象とする現象が周期的変化をしている場合
サンプル間隔と周期が一致してしまうとデータが偏ってしまうためです。
調べたい現象は複数で周期的に変化する場合でもその周期は未知です。
また現象の変動の集合が知りたいのであって、時刻への依存状態が
知りたいわけではありません。
(時刻と共に増加するか減少するかには関心がないということです)

回答No.1

ringouri

60個の標本点を得る場合をサンプリング周波数60Hzと表現して説明します。

ご希望に沿った標本点の選び方は60Hzのサンプリング周波数を三角波(1Hz)で30Hzから90Hzまで周波数変調したものとなります。
こうしますと、エイリアシングも含めて（サンプリング定理により）全ての周波数成分に対して等しい確率でサンプリング出来ることになります。要はサンプリング周波数の確率密度関数が30Hzから90Hzにおいて一様分布になるように変調をかければよのです。（周波数変調波は三角波に限らず、ランプ波など、一様分布のチャープ変調が出来ればよい。)

これを位相変調に変換したものが実際のサンプリングのタイミングになりますから、三角波を積分した波形（区間的に2次関数で表される）による位相変調をかけることになります。

標本点のタイミングに翻訳すると、
三角波変調の場合：15番目の標本点前後では、標本点の間隔が約2/3（90Hzサンプリングに相当）、45番目の標本点前後では、標本点の間隔は約2倍（30Hzサンプリングに相当）、1番目、30番目、60番目の標本点前後では、標本点の間隔は元のまま（60Hzサンプリングに相当）になります。
ランプ波チャープ変調の場合：1番目の標本点では、標本点の間隔は約2倍（30Hzサンプリングに相当）、30番目の標本点前後では、標本点の間隔は元のまま（60Hzサンプリングに相当）、60番目の標本点前後では、標本点の間隔が約2/3（90Hzサンプリングに相当）になります。

標本点のタイミング（位相変調）の概略はイメージして頂けたでしょうか？各点の正確なタイミングはエクセルの表計算で行なえばいいでしょう。

図が書けないので、分かりにくい説明になってしまいましたが、ご参考まで。

お礼

回答して頂きありがとうございます。

何となく雰囲気は分かるのですが専門的な知識がないので
回答して頂いた内容を基にして調べたいと思います。

周期的な現象であればFFTで特定の周波数の成分が突出するはずなので、
すべての周波数の成分を等しくしてFFTの逆変換をすれば
いいような気がしていたのですが、それが標本点とどのように
結びつければよいのか分かりませんでした。

補足

解釈が間違っているかも知れないので確認させてください。

ランプ波(1Hz) : t ( 0 <= t < 1 )
ランプ波で30Hzから90Hzまで周波数変調すると
exp(i2π(30+30t)t)
位相が0になる点は (30+30t)t=n ( 0 <= n < 60 )
従って標本を採集する時刻は t=(sqrt(120n+900)-30)/60 ( 0 <= n < 60 )

疑問点
周波数が30Hzから90Hzまで一様分布していれば良いのであれば
標本点の間隔がそれに対応していればその順序は無関係なのでしょうか。
ランプ波で変調すると前半の標本数は23個、後半の標本数は37個となり
一様分布から少し外れてしまうのですが(1Hzに対して)。
順序が無関係であれば、標本点の間隔の最小と最大のものから
順番に2個づつ組み合わせて使えば、かなり一様分布に近づくと思うのですが。
あと、サンプリング定理は元データの最大周波数の2倍のサンプリングを行えば
元データを復元できることだと思いますが、それと全ての周波数成分に対して
等しい確率でサンプリング出来ることの関連が理解できません。
できれば簡単に説明して頂けないでしょうか。