「一般性を失うことはない・・・」って？

質問

数学の問題を解いて解答を見ると、「～しても一般性を失うことはない・・・」ってありました。これはどういう意味ですか？
辞書で「一般」の意味を調べると「一部の事例に限らず、多くの場合や事例にわたること。特別の場合は別にして、おおむねそのような傾向が認められること。」と載っていました。
　しかし、まったく「一般性を失う」ってどういうことか分かりません。だれか教えてください(＞＜)

回答No.1

funoe · ベストアンサー

設問には提示されていない条件を付加するときの決まり文句で、

普通は、勝手に条件をつけ加えるなんて許されることではないけど、
「今回付加しようと思っている条件は、ほんのちょっとした解釈や工夫をすることで、もとからあった条件と同様に余条件として解釈できる」
って意味ですね。

たとえば、「異なる２つの自然数ａ，ｂのうち一方が偶数、一方が奇数であったとき、その積は偶数となる」ことの証明において、
「ａを偶数、ｂを奇数とする」といった、一見新しい条件を付加するとしても「一般性を失わない」んです。
（以下、ａは偶数なので２ｃとおけて、ａ*ｂ＝２ｃｂとなり積は．．．）

ここでは、「ほんのちょっとした解釈」として、「もしａの側が奇数だったとしたら、それをｂとし、ｂ（偶数の方）をａと思っても、このあとの推論には影響ないよ」ということなんですが、それを一言で表現したいとき便利なのが「一般性を失わない」なんです。

お礼

なるほど、そういうことですか(＞＜)
すごくよく分かりました。なるほどね～すごい！！
ありがとうございました(＾＾)助かりました。

回答No.5

Ishiwara

例えば、赤いカードと白いカードに関する証明問題があったとします。このとき
(1) １枚目のカードを赤と仮定して、証明が完成するとします。また、
(2) １枚目のカードを白と仮定すると、(1) で記述した証明の過程の「赤」を全部「白」に置き換え、「白」を全部「赤」に置き換えた形でやはり証明が完成するとします。
この場合、(1)と(2)の両方を記述する必要はありません。「１枚目のカードが赤であると仮定したことによって、以後の論理展開に何ら支障を生じることがない」ことを宣言すれば足りるはずです。
このようなときに「１枚目のカードを赤と仮定しても一般性が失われない」と宣言するのが慣例となっています。つまり「１枚目のカードを赤と仮定しますが、これは一般的に記述して＜ある色＞＜他方の色＞と区別しているのと同じことなのですよ」という意味です。
「一般性を失う」とは、赤からスタートしたときと、白からスタートしたときは、論理展開が違う形になってしまう、ということです。

お礼

「一般性を失う」とは赤からスタートしたときと白からスタートしたときは理論展開が違う形になってしまうということですか！！！(＾o＾)
とても分かりやすい例えに感動しました。ありがとうございます。なるほどね～すごい！！！助かりました。

回答No.4

koko_u_

ANo.1 さんの場合

命題 P(a, b) = 「異なる２つの自然数ａ，ｂのうち一方が偶数、一方が奇数であったとき、その積は偶数となる」

とした時に P(a, b) ≡ P(b, a) を利用しています(同値な命題)

ANo.2 さんの場合も例えば

命題 P(c) = 「円 c の半径を r とすると、その面積は πr^2 である」

とした時に、任意の並行移動 u : R^2 -> R^2 をもって P(u(c)) ≡ P(c) を利用しています。

とまぁ、P(a, b) ≡ P(b, a) や P(u(c)) ≡ P(c) が「自明だなぁ」と思った時に「一般性を失わない」という一言でかたづけているようです。

証明を読んだ人が俄かには理解できなさそうだ、と感じた場合には「一般性を失わない」こと自体の証明を補題として補足したりします。

お礼

証明を読んだ人が俄かには理解できなさそうだ、と感じた場合には「一般性を失わない」こと自体の証明を補題として補足したりします。
そうですね、その通り、補足が必要だと思います。
数学は1つ1つ理解できると嬉しいですね(＾＾)ありがとうございます。

回答No.3

noname#46689

極端な例で。

パチンコ台で１０個の均一なパチンコ玉を全く同じ力で打ったとしましょう。このときどんな順番で玉を打っても、当たりに入る確率は同じハズです。こんな場合、１０個の玉をあなたの気に入った順に並べて打っても一般性は失われないと考えられますね。

お礼

ありがとうございました(＾＾)

回答No.2

gatch_ky

本当は一般の場合を考えなければならないが、
ある特別の場合を考えても十分なときこんなことを言います。
例えば円について考える時、円の中心座標が(0,0)とは限らないが
中心座標が(0,0)である特別な場合を考えれば楽な時、「円の中心座標が(0,0)であるとしても一般性を失わない」といいます。
実際どんな円も平行移動すれば中心を(0,0)にできます。

お礼

なるほど、ある特別の場合を考えても、他の場合も同じように応用できるときに一般性を失うことはないというのですね。助かりました。ありがとうございます(＾＾)