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垂直なベクトル
必須事項ではないですが、理解できないので教えてください。 三角形ABC(Aがてっぺん、Bは左側)があり、AからBC以上に垂線を下ろし、その足をHとする。∠ABCをθとする。このとき内積→BA*→BC*cosθ=→BC*→BHとなりますよね。 《特に→BCが単位ベクトルのときは上の内積は→BHの長さに相当するので →BH=(→BA*→BC)*→BC》 となるらしいです。《》内が分かりません。よろしくお願いします。
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A ・ |・ ・ | ・ ・ | ・ ・ | ・ ・ θ | ・ B ・ ・ ・ ・ ・ ・H・ ・ ・ C -----------BC=1 ------------------- ---------BH=h--------- 説明に窮するので、余計な事も書きます。 >> ↑BA・↑BC・・・・・・・・・・・・・・・内積(ドット積) =|↑BA||↑BC|cosθ =|↑BC|(|↑BA|cosθ)・・・(1) =|↑BC||↑BH| ・・・(2) =BC*BH ・・・(3) (1)(2)(3)は同じ事。 =↑BC・↑BH (↑BCと↑BHが平行な故) 再掲 >>↑BC・↑BA=↑BC・↑BH・・・(4) ( 内積の図形的意味から見て自明trivial(数学) ) >>となりますよね。 >>《》内が分かりません。 >>|↑BC|=1・・・単位ベクトル。・・・(5) >>|↑BA||↑BC|cosθ=BH=h・・・相当する。 >>↑BH=(↑BA・↑BC)↑BC・・・となる。(!) ↑BCを↑BHと同じ向きの単位ベクトル↑eで表すと、 ↑BH=BH*↑e=h↑e と表され、 (!)を書き直すと、 ↑BH=(↑BC・↑BH)↑BC・・・(4)による。 ↑BH=(BC*BH)↑BC・・・(3)による。 BH*↑e=(1*BH)↑e と、当然の事しか言っていないので、 (!)のまま理解するのが良いです。 言い換えると、 ↑BHの大きさは、(|↑BC|=1の時、)↑BA・↑BC である。 頭の中でイメージできるのが、肝要と思います。 (!)と睨めっこするのも良いと思います。
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- oyaoya65
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>内積→BA*→BC*cosθ=→BC*→BH 内積 |→BA|*|→BC|*cosθ=(→BC)・(→BH)=|→BC|*|→BH| BA*BC*cosθ=BC*BHと同じです。 です。 「*」は単なる掛け算記号,「・」は内積記号です。 絶対値「| |」をつければベクトルの大きさ(長さ)になります。 >→BH=(→BA*→BC)*→BC (→BH)=((→BA)・(→BC))*(→BC) (→BC)方向の単位ベクトルを「→i」とかくと (→BH)=BH*(→i) (→BC)=BC*(→i) (→BH)=((→BA)・(→BC))*(→BC)は BH*(→i)=(BA*BC*cosθ)*BC*(→i) =BA*cosθ*(BC^2)*(→i) =BH*(BC^2)(→i)…(1) 今(→BC)=BC*(→i)=(→i)(単位ベクトル) なら,BC=1ですから(1)でBC^2=1となって 左辺=右辺が成立しますね。 *とベクトルとその絶対値と内積の記号「・」を使い分けしましょう。 そうすれば「こんがらかる」ことは無くなるでしょう。
補足
有難うございます。「、当然の事しか言っていないので」とありますが、僕も同感でした。これは垂線の足を捕らえるときの方法というところに乗っていましたが、一種のテクニックだと思っても良いでしょうか。導くとか言うものではなく、知っているものであると。