円筒の変形について

質問

厚肉円筒の変形について色々と調べたのですが，以下のような場合がわかりｍせん．

水平な面に置かれた円筒が，その中央上部１点に半径方向の垂直集中荷重を受けた場合，円筒内に生じる変形及び応力状態についてです．

考え方がわかる方，ご教授ください．

回答No.3

inara

ANo.2です。
式を訂正します。
　　　u = P*a^3/( π*D*L )*Σ[ k = 2,4,6 ... ] a*c*cos( k*π )/A
　　　v = P*a^3/( π*D*L )*Σ[ k = 2,4,6 ... ] [ 1/{ k*( k^2 - 1 )^2 } + k*c*x/A ]*sin( k*φ )
　　　w = P*a^3/( π*D*L )*Σ[ k = 2,4,6 ... ] [ 1/( k^2 - 1 )^2 + k^2*c*x/A ]*cos( k*φ )
　　　ただし　A = ( k^2 - 1 )^2*[ { ( k*L )^2 }/3 + 2*( 1 - ν )*a^2 ]

回答No.2

inara

ご質問のモデルとはちょっと違いますが、円筒の直径の両端位置に相当する「２点」に点荷重をかけた場合なら解析解があります。このモデルは数値計算の精度確認用に使われているモデルの１つで、pinched cylinder [1] と言うらしいです。

下図のように、長さを 2L [m]、直径（肉厚の中点間の距離） 2a [m] の円筒殻があって、円筒の側面が x軸に沿って置かれているとします（ x軸で側面が接している）。座標原点 O は円筒の長さの中央にあるとします。

　　　│←─ L ─→│
　　　│↓P　　　　　 │O　　　　　　　　　　　　　　　　R（ x, -a*sinφ, a - a*cosφ )
　x←━━━━━━┷━━━━━━┬　　　　　 │　　／￣￣￣￣＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2a　　　　　│／φ＼　　　　　　 　＼　← 円筒表面（のつもり）
　　　━━━━━━┯━━━━━━┴　　　　　 ├──── Q ――――→ z
　　　　↑←─ c →│　　　　　　　　　　　　　　　 　｜＼　　　　　a　 　　 ／2a
　　　　P'　　　　　　 ↓　　　　　　　　　　　　　　　 　↓　　＼＿＿＿＿／
　　　　　　　　　　　 z　　　　　　　　　　　　　　　　　y

円筒面上の点P( c, 0, 0 ) と、円筒軸に対して点Pと反対側にある点P' (c, 0, 2*a ) に点荷重 P [N] を半径方向に加えたとき、円筒表面上の任意の点R（ x, -a*sinφ, a - a*cosφ ) での x 方向の変位を u [m]、y 方向の変位を v [m]、z 方向の変位を w [m] とすれば
　　　u = P*a^3/( π*D*L )*Σ[ k = 2,4,6...] a*c*cos( k*π)/A
　　　v = P*a^3/( π*D*L )*Σ[ k = 2,4,6...] [ 1/{ n*( n^2 - 1 )^2 } + k*c*x/A ]*sin( k*φ)
　　　w = P*a^3/( π*D*L )*Σ[ k = 2,4,6...] [ 1/( n^2 - 1 )^2 + k^2*c*x/A ]*cos( k*φ)
　　　ただし　A = ( n^2 - 1 )^2*[ { ( k*L )^2 }/3 + 2*( 1 - ν )*a^2 ]
となります[2]。D は曲げ剛性 = E*h^3/{ 12*( 1 - ν^2 ) }、E はヤング率 [Pa]、νはポアソン比、h は肉厚 [m] です。
資料[2]には式の導出が書かれているので、ちゃんと読めばご質問の状態（荷重が１点＋反対側の線状荷重）も計算できると思います（私の理解力では×）。

[1]　pinched cylinder problem（図2）　 http://save.k.u-tokyo.ac.jp/jsces/trans/trans2005/No20050007.pdf
[2]　S.P.Timoshenko and S.Woinowsky-Krieeger "Theory of Plate and Shells" 2nd ed., pp. 506, McGraw-Hill(1959).

回答No.1

N64

曲がり梁と見立てて、検討してみてはいかがでしょう。