円筒面に束縛された質点が・・・

質問

半径aの滑らかな円筒面に束縛された質量ｍの質点が円筒の中心軸（ｚ軸）上一点oから距離ｒに比例する引力（ｋｒ）を受けるとすれば、質点はどのような運動を行うでしょうか。
という問題で、中心方向にｋｒsinθの力が働き、重力ｍｇも働き、それと逆向きにｋｒcosθの力が働くのは、わかるんですが。
円筒面というのがどう関係してくるのかよく分かりません。
詳しい解説をよろしくお願いいたします。

回答No.1

cot_h

3次元での運動ですので、一般に束縛条件が何もない場合はその運動は3つの座標で指定されます（自由度3）
しかしこの場合、束縛があることによって自由度が1つ下がり2つの座標で運動が表されます。
この場合zとφ（z軸の回りの回り具合）で指定されます。（rとθはzが決まると一意に決まります）

問題の解法としては、鉛直方向、向心方向、接線方向の3つの運動方程式を書いて解けばいいでしょう。
鉛直 mz''=-mg-kz
向心 maφ'^2=ka
となるので、結局上下に単振動しながら等速円運動といった運動になります。

補足

なぜ円運動するのですか。