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10^0.2 = 1.58489319246111の計算方法
基本的な質問ですが、タイトルのような次数が少数の場合で、 計算機を使わないで計算する場合、どのように計算すればよかった でしょうか？ すみませんが、ご教授願います。
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- Ishiwara
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ニュートン・ラプソン法です。 x=1 とおく x-(x^5-10)/5x^4 を求める その答を x として前行を再計算（xが収束したらやめる） （計算機よりも、表計算ソフトを使うほうが簡単）
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- sanori
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普通、そのような場合には手計算はしません。 計算をせずに、１％程度の誤差で求める方法があります。 片対数（両対数でも良いですが）のグラフ用紙を準備します。 こちらのサイトの上から２番目の図がよろしいかと。 http://physics.e-one.uec.ac.jp/report/graf/semi-log.html １０^0.2 という数は、対数目盛において、 １（＝１０^0）と１０（＝１０^1）を、１：４（＝２：８）に内分した場所にあります。 ですから、グラフ用紙の１から１０までを、普通の定規で１：４に分けます。 すると、分けた場所は、対数目盛では１．５と１．６の間、 もう少し細かく見れば、１．５５と１．６の中間ぐらいになります。 ですから、１０^0.2 は １．５７～１．５８ぐらいです。 ちなみに、掛け算や割り算ができる計算尺は、対数目盛の応用例の一つです。 下記の図では、外側から３番目の目盛が対数目盛になっています。 http://www.concise.co.jp/img/rule/generalruler/enlarge28F.gif
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- age_momo
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筆算でa^bを計算する方法を考えて見ましょう。（かなり手間ですが） 手順としては (1)log[e]a を求める。（=αとしておきます） (2)α×b を計算する。（=βとしておきます） (3)e^β を計算する。これが求める値です。 (1)についてですが、0 < a < 2 ならテイラー展開で求めることが できます。これから外れるときも A=(x-1)/(x+1) と変換したAを用いると α=log[e]a=2{A+(A^3)/3+(A^5)/5+(A^7)/7・・・・｝ で求めることができますが、aが1から大きくずれていると 収束が非常に遅いのであらかじめ開平法で√√√・・・・aを求めたほうが いいでしょう。3回開平したら後で2^3をかけましょう。 （2）はただの掛け算ですので省略して （3）の計算も代表的なテイラー展開の計算ですので結局、 a^b = 1 + β + β^2/2! + β^3/3! + β^4/4! ・・・・・・ となります。質問の式で実践してみましょう。 10^0.2 = (√√√10）^1.6 √√√10=1.33352143216332・・・・・ 筆算だと非常に手間がかかりますが、開平法3回で一応、求まるはずです。 次にこれを変換します。 A=（1.33352143216332-1)/(1.33352143216332+1)=0.142926234816763 0.142926234816763 0.142926234816763^3/3=0.00097322802040708 0.142926234816763^5/5=0.0000119286078280564 0.142926234816763^7/7=1.74054650302584E-07 これぐらいで全部足して2倍すると log[e](√√√10）=1/8*log[e](10)=α/8=0.287823130999297 α=0.287823130999297*8=2.30258509298103 0.2倍して β=0.460517009598875 これをe^xのテイラー展開に当てはめて 1+ 0.460517009598875+ 0.460517009598875^2/2+ 0.460517009598875^3/3!+ 0.460517009598875^4/4!+ ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 気の済む当たりまで筆算してもらえば 1.58489319246111 が得られます。でも、筆算は大変です。 せめて√が使える電卓ぐらいは用意したほうがいいですよ。 ついでに開平法のやり方のURLも入れておきます。
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- inara
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これは「数値計算」の問題のような気がしますが・・ 問題を一般化して、m、n が整数のとき、A^( m/n ) を四則演算（＋－×÷）だけで計算する方法を紹介します。10^0.2 というのは、A = 10、m=1、n = 5 の場合になります。 A^( m/n ) は、関数 f(x) = x^n - A^m = 0 の解です。数値計算では、f(x) = 0 の解 x を求める漸化式として x[n+1] = x[n] - f( x[n] )/f'( x[n] ) が使われます（ニュートン・ラプソン法） 。この場合 f(x) = x^n - A^m、f'(x) =n*x^(n-1) ですから x[n+1] = x[n] - ( x[n]^n - A^m )/{ n*x[n]^(n-1) } = ( 1 - 1/n )*x[n] + ( A^m )/{ n*x[n]^(n-1) } が、A^( m/n ) を求める漸化式となります。初期値を x[0] = A として、この式を使って x[1]、x[2]、・・・ と次々に求めていって、x[ ] が動かなくなったところが解になります。この式は A 、m、n がマイナスでも使えますが、 A^(m/m) が数学的に無意味なとき（ A = -1、m = 1、n = 2 など）は計算してもオーバフローするか収束しません。 A = 10、m=1、n = 5 の場合 x[n+1] = 4/5*x[n] + 2/( x[n]*x[n]*x[n]*x[n] ) --- (1) が 10^0.2 を計算する式になります。これを15桁精度で計算してみると x[0] = 10 x[1] = 8.00020000000000 x[2] = 6.40064823242493 x[3] = 5.12171019598693 x[4] = 4.10027465454472 x[5] = 3.28729556684556 x[6] = 2.64696320430731 x[7] = 2.15831219143923 x[8] = 1.81881622015378 x[9] = 1.63781027109793 x[10] = 1.58820394873794 x[11] = 1.58490696686523 x[12] = 1.58489319270054 x[13] = 1.58489319246111 x[14] = 1.58489319246111 となって、x[14] で値が動かなくなります。10^0.2 の正確な値は 10^0.2 = 1.584893192461113485202101373391507013269442133825039068316296812316656863668453980110202723846111044 ですから、x[14] が15桁精度の解になっていることが分かります。 x[n]*x[n]*x[n]*x[n] を筆算で計算するのは大変ですが、メモリと＋－×÷だけしかない電卓なら計算できます。 m = 1、n = 2 なら、√A の計算式になります。その場合の漸化式は x[n+1] = ( x[n] + A/x[n] )/2 となります。√キーがついている昔の電卓はこの式で√を計算していたらしいです（そのため表示されるのにちょっと時間がかかっていた）。
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- yanasawa
- ベストアンサー率20% (46/220)
10の(1/5)乗、つまり10の5乗根です。5乗して10になるように電卓で計算してください。大変ですけど。
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