数３微分

質問

sin2xの微分がなぜ2cos2xになるのかわかりません。

回答No.1

kazu12321 · ベストアンサー

それは合成関数の微分ですね。
ｔ＝２Ｘとおいてやってみてください。

お礼

ありがとうございます。

回答No.4

juck0808

2x=tとおくと、sint。
これを微分すると、
(sint)'=(sint)'・(t)'=cost・(t)'
ここで、t=2xだから
(sin2x)'=cos2x・(2x)'=cos2x・2=2cos2x
となります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.3

aquarius_hiro

rangdonさん、こんにちは。

合成関数の微分というのがあります。

f(g(x)) はf(…)の変数のところに関数が代入されている、入れ子になった関数で、合成関数の一種です。このような合成関数の微分は、

df(g(x))/dx = df(g)/dg・dg/dx …(1)

となります。ただし、g=g(x)です。これはよく使うので覚えておかれると良いですよ。（最後に証明も付けときます。）

この式は、ちょうど分母分子のdgが打消すような形なので、覚えやすいと思います。

さて、今の場合、f(y) = sin(y), y=g(x) = 2x とおくと、

f(g(x)) = sin(2x)

になりますが、これを微分するには、(1)を適用するため、先に、

df(y)/dy = cos(y)
dg(x)/dx = 2

を計算します。これは分かりますね？ これを (1)に代入して、

df(g(x))/dx = cos(y)・2 = 2 cos(2x) …(2)

になります。今意図的に細かく計算しましたが、慣れてきたら、適当にはしょっても(2)がすぐに計算できるようになりますよ。「中の微分かける外側の微分」ということになっています。中の微分から2が出てきて、外側の微分からcos(2x)が出てくるわけなので。

ちなみに、(1)の証明は、

df(g(x))/dx = lim_{h→0} [f(g(x+h)) - f(g(x))]/h

で、Δg=g(x+h)-g(x) とおき、[g(x+h)-g(x)]/Δg = 1 をかけると、

df(g(x))/dx = lim_{h→0} [f(g(x)+Δg) - f(g(x))]/Δg・[g(x+h)-g(x)]/h

ですが、h→0でΔg→0 になることに注意すると、

df(g(x))/dx = lim_{Δg→0}[f(g(x)+Δg) - f(g(x))]/Δg・lim_{h→0} [g(x+h)-g(x)]/h
= df(g(x))/dg・dg(x)/dx

が得られます。

[別の説明]

(sin(2x))' = d(sin(2x))/dx = d(sin(2x))/d(2x)・d(2x)/dx = cos(2x)・2 = 2 cos(2x)

途中で、分母分子に d(2x)をかけました。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

kkkk2222

＃
f(x)=sin2x
f'(x)=(2x)'cos2x
=2cos2x

＃＃
y=sin2x
　U=2x,,,,dU/dx=2
　y=sinU,,,dy/dU=cosU=cos(2x)
dy/dx=(dy/dU)(dU/dx)=cos(2x)*2=2cos(2x)

＃＃＃
f(x)=sin2x
f'(x)=lim[h→0]{ sin2(x+h)-sin2x }/h
=lim[h→0]{2cos(2x+h)sinh }/h
=2cos(2x)

お礼

ありがとうございます。