ロピタルの定理とは…

質問

ロピタルの定理は

(i) a∈I,∀x∈I＼{a},g'(x)≠0

(ii)lim(x→a,f(x))=lim(x→a,g(x))=0
または
lim(x→a,f(x))=lim(x→a,g(x))=∞

(iii)lim(x→a,f'(x)/g'(x))が収束

となるような開区間Iがとれる時、

lim(x→a,f(x)/g(x))=lim(x→a,f'(x)/g'(x))

と言ってもいいのでしょうか?

それと
x→∞でのバージョンは

(i) ∀x∈(a,∞),g'(x)≠0

(ii)lim(x→∞,f(x))=lim(x→∞,g(x))=0
または
lim(x→∞,f(x))=lim(x→∞,g(x))=∞

(iii)lim(x→∞,f'(x)/g'(x))が収束

となるような実数aがとれる時、
lim(x→∞,f(x)/g(x))=lim(x→a,f'(x)/g'(x))

で正しいでしょうか?

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

ご質問の最後から2行目に書いてある式だけが違うようです。前半の話はx→a±0（片側からの極限）でも成り立ちます。

お礼

> ご質問の最後から2行目に書いてある式だけが違うようです。
lim(x→∞,f(x)/g(x))=lim(x→a,f'(x)/g'(x))
↓
lim(x→∞,f(x)/g(x))=lim(x→∞,f'(x)/g'(x))
でしたね。

> 前半の話はx→a±0（片
> 側からの極限）でも成り立ちます。
纏めると下記のようになるのですね。

関数f,gにおいて
(i) (a,+∞) ⊂ Dom f
(ii) f,gが (a,+∞) で微分可能
(iii) ∀x∈ (a,+∞) に対してg(x)g'(x)≠0
(iv) lim(x→+∞,f(x))=lim(x→+∞,g(x))=0 or ±∞
(v) lim(x→+∞,f'(x)/g'(x))が収束
なる実数aが存在する時、
lim(x→+∞,f(x)/g(x))=lim(x→+∞,f'(x)/g'(x))

関数f,gにおいて
(i) a∈I で I＼{a} ⊂ Dom f
(ii) f,gが I＼{a} で微分可能
(iii) ∀x∈ I＼{a}に対してg(x)g'(x)≠0
(iv) lim(x→a,f(x))=lim(x→a,g(x))=0 or ±∞
(v) lim(x→a,f'(x)/g'(x))が収束
なる開区間Iが存在する時、
lim(x→a,f(x)/g(x))=lim(x→a,f'(x)/g'(x))

関数f,gにおいて
(i) a=inf I で I ⊂ Dom f
(ii) f,gが I で微分可能
(iii) ∀x∈ I に対してg(x)g'(x)≠0
(iv) lim(x→a+0,f(x))=lim(x→a+0,g(x))=0 or ±∞
(v) lim(x→a+0,f'(x)/g'(x))が収束
なる開区間Iが存在する時、
lim(x→a+0,f(x)/g(x))=lim(x→a+0,f'(x)/g'(x))

回答No.1

noname#101087

おっしゃるとおり、のようです。
下記ページの定理 2.15(L'Hospital の定理)

　不定形の極限値(limit of indeterminate forms)
　http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node35.html

お礼

ありがとうございます。

> http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node35.html​
でのロピタルの定理では
f(a)=g(a)=0
となっていて、
x=aででもf(x),g(x)が定義されてないといけないようですが、
f(x),g(x)は(a,b)で微分可能で
lim(x→a+0,f(x))=lim(x→a+0,g(x))=0
ではダメなのでしょうか?

つまり、
『f(x),g(x)は(a,b)で微分可能で
lim(x→a+0,f(x))=lim(x→a+0,g(x))=0
で
lim(x→a+0,f'(x)/g'(x))が収束すれば
lim(x→a+0,f(x)/g(x))=lim(x→a+0,f'(x)/g'(x))』
でもいいのでしょうか?