固有値について(ずっと悩んでます；；)

質問

固有値、固有ベクトルを求める問題なのですが教科書を見ても固有値を出す過程が飛ばされていてわかりません。
ずっと色々なサイトを見て回ってはいるもののやはり理解できずにとても悩んでます。
お手数をかけますが、固有値を出すまでの計算式を省略せずに書いて頂けないでしょうか？
本当に困っているので優しい方がいましたらお願いします；；
( 3-λ　2　　-2)
　(-2　　-2-λ 1)
( 1 　 2 -2-λ)

回答No.5

k_yuu01 · ベストアンサー

横から失礼します…

＞-λ^3 + (-4 + 3) λ^2 + (-2+12-4-2)λ + 6-6+4 = 0
＞から
＞λ^3 + λ^2 -4λ - 4 = 0
＞
＞の計算がわかりません

（）内を計算して整理すると
-λ^3 - λ^2 + 4λ + 4 = 0
先頭にマイナスが来るとなにかと不便なので、両辺に-1をかけて
λ^3 + λ^2 -4λ - 4 = 0
となります。

さて、「λ^3 + λ^2 -4λ - 4 = 0」を因数分解します。
多項式を因数分解しようと思ったら、まずλの次数が０の係数に注目しましょう。今回の場合は、＝の隣の-4です。
因数定理だったかよく覚えてないのですが（オイ　　λの次数が０の係数の因数が（今回の場合だと4,2,1,-1,-2,-4）多項式の因数分解の鍵になります。

「λ^3 + λ^2 -4λ - 4」のλに-1を代入して計算してみると、答えは０になります。このようにある数aを代入して答えが０になった場合、この式は（x-a）で割ることができます。
いまa=-1で式が０になったので、「λ^3 + λ^2 -4λ - 4」は(λ+1)で割ることができます（符号が変わることに注意）
多項式の割り算は説明しにくいので具体例を示すと

　　　 λ^2　　　　　 -4
　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
λ＋１）λ^3 + λ^2 -4λ - 4
　 　　 λ^3 + λ^2
　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　 -4λ - 4
　　　　　　　　　　　-4λ - 4
　　　　　　　　＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　0

という感じ。感じ取ってください(＞人＜)
すると
λ^3 + λ^2 -4λ - 4 = 0
は
(λ + 1)(λ^2 - 4)
λ^2 - 4の因数分解はできますね？
(λ + 1)(λ + 2)(λ - 2)
となり、固有値 λ=-2,-1,2 が求まります。

長文、悪文失礼しました。

お礼

長々と書いて頂いてすいません、とてもよくわかりました。
本当に助かりました、ありがとうございました＾＾

回答No.4

koko_u_

>お手数ですがもしよろしければその解き方を教えて下さい。

補足欄にどうぞ。
・2×2正方行列の行列式の定義を知っている (YES/NO)
・3×3正方行列の行列式の定義を知っている (YES/NO)
・一般の n×n 正方行列の行列式の定義を知っている (YES/NO)
・2次方程式が解ける (YES/NO)
・3次方程式を因数分解できれば解ける (YES/NO)
・3次方程式をすべて解ける (YES/NO)

補足

回答ありがとうございます、aquarius_hiroさんの記事にも書きましたが展開した場合の3次程式の因数分解のところがわからないんです；；

回答No.3

aquarius_hiro

書かれた行列は、もうλIを差し引いているのですよね。

A v = λ v

となるような、λが固有値で、v が固有ベクトルです。
移項して

(A-λI)v = 0 … (1)

です。

もしも、(A-λI) の行列式が≠0であれば、その逆行列(A-λI)^{-1}が存在し、それを左からかけたら、

(A-λI)^{-1} (A-λI) v = (A-λI)^{-1}0 = 0
故に、v = 0

が示せてしまいます。固有ベクトルは、0ベクトルでなくて(1)を満たすものですから、(A-λI)の行列式が≠0であるとしたことが間違いです。

従って、det(A-λI) = |A-λI| = 0 を満たさなければなりません。

ご質問の行列の行列式を計算すると、

(3-λ)[(-2-λ)^2-2] - 2[-2(-2-λ) - 1] + (-2)[-2・2 - (-2-λ)・1] = 0
(3-λ)(2+4λ+λ^2) - 2(3+2λ) - 2(-2+λ) = 0
-λ^3 + (-4 + 3) λ^2 + (-2+12-4-2)λ + 6-6+4 = 0
λ^3 + λ^2 -4λ - 4 = 0

これは、λ=-1を解としてもつので、

(λ+1)(λ^2-4)=0
(λ+1)(λ-2)(λ+2)=0

故に、固有値 λ=-2,-1,2 が求まります。

計算間違いがあったらすみません。

お礼

koko_u_さんの説明で無事理解できました。
長々説明して頂き本当にありがとうございました＾＾

補足

とてもわかり易い説明をありがとうございます。
だいたいはわかったのですが、

-λ^3 + (-4 + 3) λ^2 + (-2+12-4-2)λ + 6-6+4 = 0
から
λ^3 + λ^2 -4λ - 4 = 0

の計算がわかりません。
もし宜しければ教えて貰えると助かります。

回答No.2

koko_u_

3×3行列なら掃き出し法を使うまでもなく行列式を求めることは容易いです。

補足

お手数ですがもしよろしければその解き方を教えて下さい。

回答No.1

koko_u_

minami1985 さんのレベルがわからん。
高校生？どんな教科書つかってるの？

固有値や固有ベクトルの概念は理解できてて、方程式が解けないだけ？それとも何もわからん状態？

補足

返信有難うございます。
掃き出し法を使って
(***)
(0**)
(00*)
にするのはわかるんですが、この状態までに持っていけません。
もし宜しければ教えて下さい。