微分方程式のシャルピーの解法について
シャルピーの解法に沿って2変数関数u=u(x,y)を含めた微分方程式F(x,y,u,p,q)=0 (p=∂u/∂x,q=∂u/∂y)の解を求める際に特性方程式{dx/(∂F/∂p)}={dy/(∂F/∂q)}=[du/{p(∂F/∂p)+q(∂F/∂q)}]=-[dp/{(∂F/∂x)+p(∂F/∂u)]=-[du/{(∂F/∂y)+q(∂F/∂u)}]というのがでてきますが、これを導く手順についていくつか分からない点があります。
手順1:pとqを共にx,y,uの関数で表し、p=∂u/∂x=p(x,y,u),q=∂u/∂y=q(x,y,u)とする。
※質問ですがuはxとyの関数なので、xやyで偏微分すると同じくxとyの関数になると思うのですが、ここではあえてそのxとyの式を変形してu=(x,y)を入れ込むということでしょうか？
手順2:2変数関数u=u(x,y)の全微分duはdu=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy=pdx+qdyとなり、これを変形するとpdx+qdy-du=0となる。この式を(1)とおく。(1)はu=u(x,y)-u=C [Cは任意定数でuは独立変数]の解を持つので、積分可能と言える。
※質問ですが、"(1)が解u=u(x,y)-u=Cを持つ"というのは一体どうして分かるのでしょうか？
また、その後に"積分可能と言える"とありますが、"微分方程式が解をもてば、その微分方程式が積分可能である"とも言えるのでしょうか？
手順2の続きです。
(1)は積分可能条件を満たすので、ベクトルA=[p,q,-1]とおくと、A・(rotA)=0を満たす。これを計算すると、-p(∂q/∂u)+q(∂p/∂u)-{(∂q/∂x)-(∂p/∂y)}=0という関係式が導ける。この式を(2)と置く。
手順3:p,qを求めるためにもう1つ関係式G(x,y,u,p,q)=b(bは定数)を用意する。ここでFもGもx,y,uの関数であることが言える。次に(2)の式を解くために必要な(∂q/∂u),(∂p/∂u),(∂q/∂x),(∂p/∂y)を得るためFとGをx,y,uでそれぞれ偏微分する。
まずxで偏微分すると、Fは(∂F/∂x)+(∂F/∂p)*(∂p/∂x)+(∂F/∂q)*(∂q/∂x)=0,Gは(∂G/∂x)+(∂G/∂p)*(∂p/∂x)+(∂G/∂q)*(∂q/∂x)=0という式になる。
※ここで質問ですが、これらの式はどう解釈したらいいのでしょうか？
例えばF(x,y,u,p,q)=px-qy-u=0という式があった場合x,y,u,p,qを独立変数ととらえた場合(∂F/∂x)=pという式が出てくると思います。
しかし、(∂F/∂x)とは別に(∂F/∂p)*(∂p/∂x)+(∂F/∂q)*(∂q/∂x)という項があるのを見ると、一体この2つの項はどこから出てきたのかが疑問に思えます。xの関数であるpとqの合成関数の微分のようにも見えます。ただuもxとyの関数であるはずですので、なぜ(∂u/∂x)といった項が出てきていないのか分かりません。
手順3の続きです。
次にFとGをyで偏微分すると、Fは(∂F/∂y)+(∂F/∂p)*(∂p/∂y)+(∂F/∂q)*(∂q/∂y)=0,Gは(∂G/∂y)+(∂G/∂p)*(∂p/∂y)+(∂G/∂q)*(∂q/∂y)=0となる。
最後にFとGをuで偏微分すると(∂F/∂u)+(∂F/∂p)*(∂p/∂u)+(∂F/∂q)*(∂q/∂u)=0,Gは(∂G/∂u)+(∂G/∂p)*(∂p/∂u)+(∂G/∂q)*(∂q/∂u)=0
※ここでも同じ質問ですが、これらの式はどのように考えたらでてくるのか疑問です。
さらにこの手順に従って進めると上に挙げたFとGをx,y,uで偏微分した6つの式から(∂q/∂u),(∂p/∂u),(∂q/∂x),(∂p/∂y)の値が出てきてこれらを(2)の式に代入することで、最終的に{dx/(∂F/∂p)}={dy/(∂F/∂q)}=[du/{p(∂F/∂p)+q(∂F/∂q)}]=-[dp/{(∂F/∂x)+p(∂F/∂u)]=-[du/{(∂F/∂y)+q(∂F/∂u)}]という特性方程式が出て、この中の２つを用いてもう1つのpとqの関係式Gを求めるようです。このFとGからpとqの値が求まるので、これを用いて解を求めるようになっています。
長くなりましたが、私が間違っている箇所も含めて解説していただければと思います。
お礼
実はこれが分からなくて一日中考えていたのでとても助かりました。でも、考えてみれば、u^3とv^3が解といっているのだから(x-u^3)(x-v^3)=x^2-(u^3+v^3)+u^3v^3となりますね。基本的なところを忘れていました。