三次方程式が解けません。

質問

三次方程式x^3-5^2+6^x-1=0を手計算で解きたいのですが途中で行き詰ってしまいます。
こちらのサイト→http://www.mns.kyutech.ac.jp/~kamada/thirdeq/ を参考に解いていましたが
最後のU,Vの値が
U,V=(7/27±√{49/27}i)/2
となり虚数が出てきてしまい、以降の計算ができません。
一応方程式の解自体はMATLABで計算すれば出てきますが、できることなら手計算で解きたいのです。
手計算で解く事は不可能なのでしょうか？

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

x^3-5^2+6^x-1=0 は 3次方程式じゃないだろという突っ込みをしておいて, と.

この方程式は有理数の解を持たないから, 「手計算」ではほとんど無理でしょうね.

余談ですが, #1 では「全てが実数解であろうとも途中で複素数が出てきてしまうことが避けられません」と書かれていますが厳密には「異なる 3つの実数解を持つ場合には途中で複素数が出てきてしまうことが避けられない」です. 2重解+異なる実解とか 3重解の場合には複素数を避けることも可能です.

お礼

ギャー思いっきり書き間違えてました！　申し訳ありません！　x^3-5x^2+6x-1=0ですね＞＜
やはり手計算で解くのは厳しいんですね…わかりました、ありがとうございます！

回答No.1

rnakamra

U=(7/54)(1+i*3√3)
Uの3乗根を求めればよいのですが、これは
u=U^(1/3)=(1/3)*(7)^(1/3)*(1+i*3√3)^(1/3)
これ以上に簡単な形には出来そうにありません。
tan(3θ)=3√3
として、cosθ,sinθを求めればよいのですがこれ以上に簡単な式には変形できません。
この解き方では全てが実数解であろうとも途中で複素数が出てきてしまうことが避けられません。簡単に解ける場合もあるのですが、たいていの場合はそれ以上簡単に出来ない。
これは仕方がありません。

お礼

なるほど…わかりました。ありがとうございましたー。