二階微分方程式

質問

「最新熱測定」という書籍の2-1章に「周期加熱法概論」という章があります。
周期加熱法の測定原理として、
熱拡散率aをもつ物質で、x方向に温度変化がある場合には
dT/dt=a(d^2T/dx^2)　…(1)
と書ける。物質夕のx=0において周期温度がT=Texp(iωt)で定常的に周期変化すると、(1)式の微分方程式は
d^2T/dx^2=i(ω/a)T=((1+i)/(2^(1/2)))^2*((ω/a)^(1/2))^2　…(2)
と書くことができる。(2)式の一般解の+方向へ伝わる周期温度の平面波は
T=Toexp[i(ωt-kx)-kx]　…(3)
となる。ここに、kは次式で与えられる。
k=(ω/2a)^(1/2)　…(4)

というように記載されていますが、
(3)式の導出方法がわかりません。
また、(2)式の一般解がよくわかりません。
どなたかアドバイス頂きますようよろしくお願い致します。

回答No.3

noname#57316 · ベストアンサー

元の式を　∂T/∂t=a・∂^2T/∂x^2　と表わします。
T=Θ(t)・X(x)　とすると
{1/Θ(t)}・∂Θ(t)/∂t=a・{1/X(x)}・∂^2X(x)/∂x^2
以後、Θ(t)　を　Θ、X(x)　を　X　と書きます。
Θ=Θo・exp(iωt)　より
上式の左辺は、iω
従って、(d^2X/dx^2)-(iω/a)・X=0
これの特性方程式は、
λ^2-(iω/a)=0
∴　λ=±(iω/a)^(1/2)
　　=±{(ω/a)・exp(π/2)}^(1/2)
　　=±(ω/a)^(1/2)・{(1+i)/√2}
今、+方向へ伝わる平面波を考えるので
λの下号を採用し、
T=Θ(t)・X(x)
　=Θo・exp(iωt)・exp[(ω/a)^(1/2)・{-(1+i)/√2}・x]
　=To・exp[iωt+(ω/a)^(1/2)・{-(1+i)/√2}・x]
（最後の式で、Θo　を　To　とおいています）
この式は、k=(ω/2a)^(1/2)　として、
T=To・exp[i(ωt-kx)-kx]　と表わせます。

お礼

ご返答有り難うございました。

補足

ご回答有り難うございました。
非常に参考になります。あと一つ質問があります。

下から5行目～6行目において
X(x)
=exp[(ω/a)^(1/2)・{-(1+i)/√2}・x]
となっておりますが、

特性方程式がλ^2-(a^2)=0の場合
X(x)=exp(±ax)
となることは、どのような教科書に書いてますでしょうか？
おそらく非常に基本的なことだと思うのですが、
大学で数学を習ったことがなく解っていません。
参考となる教科書をお教えいただければ幸いです。

回答No.4

noname#57316

昔、池原止戈夫著の「微分方程式」、寺沢寛一著の「数学概論」、マージナウ・マーフィ著の「物理と化学のための数学」等で学びましたが、今は、どういった教科書があるのでしょうか、残念ながら存じません。

お礼

ご返答有り難うございました。
現在、伝熱の勉強をはじめており、これからも質問するときがあると思いますが、今後もよろしくお願い致します。

回答No.2

pascal3141

T=Texp(iωt)のTがわかりにくいのでT=Hexp(iωt)とします。
x=0においてT=H(0)exp(iωt)で定常的に周期変化すると、xの場所も定常変化するので、T=H(x)exp(iωt)とできる。
d^2T/dx^2=(1/a)dT/dtの右辺へT=H(x)exp(iωt)を代入
d^2T/dx^2=i(ω/a)H(x)exp(iωt)=i(ω/a)T
つまりx変化のみ取り出すと、d^2H/dx^2=i(ω/a)H
H(x)=H(0)*exp(αx)とおくと
α^2=i(ω/a)=((1+i)^2/2)*(ω/a)=(1+i)^2*ω/2a=((1+i)*(ω/2a)^(1/2)))^2=((1+i)*k))^2
よって
α=±(1+i)*k
H(x)=H(0)*exp(αx)=H(0)*exp(±kx±ikx)(以下複合同順）
よって
T=H(x)exp(iωt)=H(0)*exp(±kx±ikx)*exp(iωt)=H(0)*exp[i(ωt±kx)±kx]
一般にxの正方向に伝わる波は、f(x-βt)とかける。（時間tでf(x)がx正方向にβt平行移動するとf(x-βt)）
よって
T=H(0)*exp[i(ωt-kx)-kx]
以上でわかりますか？

お礼

早速ご回答いただき有り難うございました。
数学の知識に乏しいにもかかわらず、伝熱の勉強をはじめようとしています。これからもこの場で質問することがあると思いますが、宜しくお願いいたします。

回答No.1

rabbit_cat

(2)式の２つ目のイコールの右側が、何だかよくわかりませんが。

とりあえず、(1)の偏微分方程式（熱伝導方程式）を解きたいってことならば、
T = T1(x)T2(t)
と、いう形の解を仮定して、(1)なり(2)なりに代入すれば解けると思います。（変数分離法）

お礼

ご回答有り難うございました。
(2)式にはTが抜けていました。すみません。
i(ω/a)T=((1+i)/(√2))^2*(√(ω/a))^2*T

i=((1+i)/(√2))^2
(ω/a)=(√(ω/a))^2
に書き換えています。