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自然数の総和が -1/12 になることの直感的な説明
１から１００までの総和は、（1+100）+（2+99）+（3+98）+ ... という具合に積み木モデルで容易に視覚化できます。 このような具合に、 1+2+3+.... が -1/12 になることを Zeta 関数などの高等数学を使わずに図式的に直感的な説明をすることは可能でしょうか。
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- hiccup
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- zk43
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この質問は何回も出ていますが、1+2+3+…=-1/12は1,2,3,…を本当に 足しているのではありません。 sの実部＞1に対して成り立つζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+…を、sの実部＜1 にまで拡張して、ζ(-1)=1+2+3+…=-1/12と表現しているにすぎませ ん。ですので、本によっては"1+2+3+…"=-1/12という書かれ方をしてい ます。あくまでゼータ関数を介して意味づけがなされるものです。 このような式を載せた新聞記事などがありましたが、数学に関心を引き 寄せるためのものかと思いますが、この式を単独で載せるのはかえって 毒のような感じもします。 オイラーが計算して、リーマンが意味付けするまでに約１００年かかっ ているので、そんな簡単に理解できるものではないと思います。
お礼
意味づけを教えていただきありがとうございました
- kabaokaba
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>Zeta 関数などの高等数学を使わずに図式的に直感的な説明をすることは可能でしょうか。 ζは無理です．特に図式は無理でしょう． けど，似たようなことで，高校程度の数式でならなんとか． ＃たぶん，この例は有名だからご存知かもしれません 等比級数の和の公式はご存知ですか？ |x|<1 において 1+x+x^2+・・・・ = 1/(1-x) というものです． これは，もちろん |x|<1 でないと成立しません． ところが，1/(1-x) は「xが1でない」という条件で計算できますね． そこで， 例えば，x=2のときの 1+x+x^2+・・・・ つまり， 1+2+2^2+2^3+・・・・ を 1/(1-x) に x=2 を代入したものとしてしまうのです． つまり， 1+2+2^2+2^3+・・・・ = 1/(1-2) = -1 としてしまうのです． 本当なら，|x|<1 の範囲でしか成り立たないものを 「それ以外の範囲」でも成り立つものとして計算してしまうという 荒業です．話題のゼータも計算そのものはこんな感じです． ＃ゼータの場合もっと難しい計算ですけどね． ＃実はこの等比級数もかなり重要な応用があります． 普通ならこんなこと許されるわけありません． けどですね・・・実はいくつかの条件が付きますが， これが正当化される理論があります． この正当化は相当厄介なので簡単には説明できません． これは大学の数学科の3年生くらいの 一年分の授業内容に匹敵します． ただし，念をおしますが， 1+2+3+.... = -1/12 とかはあくまでも「標語的」な表現であり， 「=」の意味が全く違うということは理解してください． 非標語的に書くなら多分 ζ(-1)=-1/12 と書くでしょう． この方が書きやすいし誤解もうけません．
お礼
論理の拡張の様子が見えてきました ご回答ありがとうございました
- Suue
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こちらも参考にしててください。直感で説明はできないと思います。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3227319.html
お礼
ご回答ありがとうございました
- sanori
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せいぜい、これ↓の右側にある３つの図を見るぐらいですかね・・・ http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A
お礼
ご回答ありがとうございました
- Evreux
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この手の問題はあまり得意ではないのですが、 自然数の総和は無限大に膨らみます。 まちがっても -1/12 にはならないと思います。
お礼
ご回答ありがとうございました
お礼
とてもわかりやすいアナロジーをありがとうございました。