図形

質問

点Oを中心とするはんけい１の円に内接する三角形ABCを考え、∠A=α、∠B=β、∠C=γとする

１）辺BCの長さをαを用いて表せ、また辺CAの長さをβを用いて表せ。
２）三角形の面積をTとするとき、T=2sinαsinβsinγを示せ
３）γを固定しαとβを変化させる、このときTの最大値をγを用いて表せ。

１）はBC=2sinα、CA=2sinβ
２）はT=1/2*2sinα*2sinβ*sinγ⇔T=2sinαsinβsinγ

であっているでしょうか・・？
３）はてが付きません。。。
おねがいします

回答No.1

abyss-sym · ベストアンサー

(1)(2)はあってますよ。

(3)α+β+γ＝πよりβ＝π-(α+γ)
Ｔ＝2sinαsinβsinγ＝2sinαsin{π‐(α+γ)}sinγ
　＝2sinαsin(α+γ)sinγ
　＝2sinγ(-1/2){cos(2α+γ)-cosγ}
ここまでくれば解けるでしょう。

回答No.3

good777

□問題□
Oを中心とするはんけい１の円に内接する三角形ABCを考え、∠A=α、∠B=β、∠C=γとする

１）辺BCの長さをαを用いて表せ、また辺CAの長さをβを用いて表せ。
２）三角形の面積をTとするとき、T=2sinαsinβsinγを示せ
３）γを固定しαとβを変化させる、このときTの最大値をγを用いて表せ。

★解法★
１）はBC=2sinα、CA=2sinβ
２）はT=1/2*2sinα*2sinβ*sinγ⇔T=2sinαsinβsinγ

３）AB＝2sinγ　が一定であれば，α＝βであるとき最大になる。
α＝β＝（π/2）－γ
T=2sinαsinβsinγ＝2cosγcosγsinγ

回答No.2

fukuda-h

加法定理を使って2)を変形していくんでしょうね。そのための設問２）だと思います。
2sinαsinβ＝cos(α-β)-cos(α+β)
α+β＝π-γからcos(α+β)＝-cosγ
T＝[cos(α-β)+cosγ]sinγ
γが一定だからcosγやsinγは一定になるからcos(α-β)を最大にすると良い
α-β＝0のときcos(α-β)＝1で最大になる
最大値はT＝[1+cosγ]sinγ