log(1+i)がわかりません。

質問

以前にiのi乗で質問したものですが・・
もうひとつおねがいします。
タイトルどおりlog(1+i)を求めなさいという問題が
テストで出題されました。が、どのようにアプローチ
すればよいのか見当がつきません。ちなみに、テスト
の分野は、複素関数です。お願いします。

回答No.4

62016479

log(1+I)=cとおく。
e^c=1+x・・・(1)
e^ix=cosx+isinx・・・(2)

(1)と(2)をの実部、虚部を比較するとcosx=sinxとなることが必要条件。
よってx=π/4+2πn（nは整数）
ところが、実際にこの値を(2)式に代入して√２倍しなければならない。
すなわち
√２×e^π/4×I=1+I
ここで√2＝e^log√2であるから
左辺=e＾log√2+π/4×I
よって
c=log√2　+　（π/4+２πn×I
親切に書くならば
回答
log（1+I）＝1/2log2　＋　（π/4+2πn）×I
といったところでしょう。

回答No.3

gimmick

まず始めに

1+i=√2 * e^{(π/4 ± 2nπ)i} (n=0, ±1, ±2, ...)

となります。これをlog(1+i)に代入すると

log(1+i) = log(√2 * e^{(π/4 ± 2nπ)i})
　　　　　= log(√2) + log{ e^{(π/4 ± 2nπ)i} }
　　　　　= log(√2) + (π/4 ± 2nπ)i　(n=0, ±1, ±2, ...)

となります。

回答No.2

Esna

こんにちは.Esnaです.

実関数の対数関数をLog x (x > 0)と書くと,

複素数z(z≠0)に対して,
log z = Log|z| +iarg(z)
となります.

(ここで, |z|,arg(z)は,
複素数zの極形式表現をre^θとしたとき
|z| = r,arg(z) = θ+2nπ(n = 0,±1,±2,…)
です.)

回答No.1

wolv

・　log c = x と置くと、 　c = e^x (eのx乗）
・　e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)
あたりを組み合わせて、
とけませんか？