TEM伝送線路でのラプラスの方程式について

質問

現在、マイクロ波伝送線路について勉強しているものです。
TEMモードでの電磁波の伝搬について勉強しているのですが、わからないことがあるので教えてください。
今、伝送線路の方向をz軸とします。そしてそれに対して垂直な面（xy面）をt面として考えています。（一般にE=Ez＋Etとしている）
そこでTEMモードのMaxwellは∇t×Et=0という式が導出されます。
そこでEt=-∇tΦとおくと
∇t^2Φ=0（ラプラスの方程式）
が導けます。
そこで質問です。この式はいったい何を意味しているのでしょうか？
もし∇t^2Φ≠0でない場合はTE、TM波になるのですが、どういうことなのでしょうか？物理的な意味が理解できません。
教えてください。

回答No.1

nta · ベストアンサー

電界もそうですが一般的なベクトル場は非回転項（ラメラー項）と回転項（ソレノイダ項）に分けられることはご存じですね。Et=-∇tΦ　とおくのであれば、ベクトル場のヘルムホルツの定理によってEtはラメラー項を表していることになります。 ∇・Et = ∇・(-∇tΦ)=-∇t^2 Φ ですが、これが０になるということ（ラプラスの方程式を満たす）は∇t・Et＝０、すなわちEt=Et1 という方向ｔに一様な場をもつことになります。一方、ソレノイダ項を割り当てていませんから∇t×Et=0となります。これはMaxwellの方程式からHz=0という結果を導くことになります。同様に磁界HについてもHt=Ht1という結果が得られ、電流Jがなければ同様にEz=0、存在する場合でも同軸ケーブルのように中心を貫いている場合にはEz=0であることを示すことができます。
Φは一般に電位を表しますが、ラプラス方程式を満たすΦは調和関数になります。調和関数ではある点の値はその周辺の値の平均値になります。すなわち電位がなめらかに変化する系を想像するといいでしょう。
TMモードに関しては磁界Hだけソレノイダ項を、TEモードに関しては磁界Hはラメラー項だけを割り当てて考えてみてください。TMモードではこの帰結としてEtはラメラー項のみを持つことになりますが、ラメラー項では一般に∇t・Et =-∇t^2 Φ を０としません。
物理的な考察としては、伝送路断面上の磁界Htがソレノイダ項として閉じているため、それを貫通する変位電流が存在しなければならないことを意味しています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
イメージ的にはなんとなくつかめました。
しかし、私の勉強不足ゆえ、わからない点があります。
・ソレノイダ項を割り当てる？？
なぜ∇t×Et=0とというようにおけるのでしょうか？
すみませんがよろしくおねがいします。

回答No.2

nta

ヘルムホルツの定理はベクトル場Etを
Et=（ラメラー項）＋（ソレノイダ項）
　=-∇tΦ + ∇t×A
ここではΦはスカラポテンシャル、Aは∇t・A＝０と決めたベクトルポテンシャルで表せることを主張しています。このAとΦの割り当て方には自由度があります。ここではソレノイダ項＝０と割り当てていらっしゃるので、本来は∇t×∇t×A＝∇t∇t・A－∇t^2 Aとなるところで∇t×∇t×A＝0となっています。∇t×∇tΦはベクトル演算で０ですから∇t×Et=0になります。
自由度のある配分をするためにはΦが調和関数である必要があります。