力学の問題（ベクトル、単振動）

質問

１、２次元ベクトル量の極座標表示；導き出した速度ベクトル成分の計算結果を用いて、加速度ベクトルαの動径方向成分αγ（γはαの下付き文字）と方位角方向の成分αφ（φはαの下付き文字）を求めよ。

２、単振り子の応用：単振り子を用いて、その地点における重力加速度ｇを測定する方法を述べよ

３、単振動：　自然の長さがLのゼンマイをつるし、おもりをつけると長さがL´になったとき、aだけ下に引き下ろして離すとどのような運動をするか？

この３つの問題なんですが、大学のレポートで、自分は高校のとき、物理を選択してなかったのでぜんぜんわかりません。模範解答のような回答がほしいので、わかる方、お願いします。

回答No.6

T-gamma · ベストアンサー

>ｘ（ｔ）＝Acos(ωt＋θ）の解に初期条件を入れればよいのですか？
そうです。

回答No.5

T-gamma

(2)は代入する必要はないと思いますが・・・（周期が分かればいいので…）
あと、
ｘ（ｔ）＝Acos(ωt＋θ)
=asinωt＋bcosωt
としたほうが代入しやすいと思います。

補足

間違えました。(3)の問題でしたｘ（ｔ）＝Acos(ωt＋θ）の解に初期条件を入れればよいのですか？

回答No.4

T-gamma

x,yを極座標に変換すると
x=rcosθ
y=rsinθ
となりますよね。これを時間で微分していくと
ｘ”=r"cosθ－2r'θ'sinθ－r(θ')^2cosθ－rθ"sinθ
y”=r"sinθ＋2r'θ'cosθ－r(θ')^2sinθ＋rθ"cosθ
となります。
また、図を描くと分かりますが
αγ＝x"cosθ＋y"sinθ
αφ＝-x"sinθ＋y"cosθ
以上をまとめると
αγ＝r"-rθ"
αφ=2r'θ'＋r'=(1/r)d/dt(r^2θ')
となります。rを定数として扱ってよいなら、もう少し簡単になるのですが、とりあえずこんな感じです。
また、このように成分分けして強引に解く以外に、ベクトルを用いて解く方法もありますが、ベクトル表記がここでは困難なため割愛します。

お礼

有難うございました！！

補足

（２）の問題はｘ（ｔ）＝Acos(ωt＋θ）に初期条件をいれたらよいのでしょうか？

回答No.3

T-gamma

(3)初期条件
t=0でｘ=a,v=0
（釣り合いの位置をx=0として下向きに正のx軸をとった場合）

補足

何度もすいません。（１）の問題がさっぱりわかりません。もう少しヒントをください。お願いします！！

回答No.2

T-gamma

周期Ｔは
Ｔ=２π√(L/g)
ですから式変形すると、
ｇ＝４(π^2)L/Ｔ^2
つまり、LとTを測定すれば重力加速度gが求まります。

お礼

周期Tの求め方も、いくつかの式を応用してわかりました。有難うございます。

補足

（２）単振動の運動方程式、a=-ω^2xから、角速度ωで等速運動している物体の運動のx方向成分に対する式、ｘ（ｔ）＝Acos(ωt＋θ）が解だと思うのですが、そこから初期条件が何かわからないのですが。

回答No.1

T-gamma

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となっております、少しでもご自身の考えをお書きください。
まあ、多少のヒントだけでも・・・　
(1)極座標への変換は大学の物理の教科書には必ず載ってると思います。難しいかもしれませんが、頑張って理解してください。

(2)単振り子の周期を求めてください。近似やら微分方程式(X''=-ωX)
が必要です。

(3)単振動の微分方程式(X''=-ωX)の一般解を求めて、初期条件を入れてください。

高校時代に物理をやってない人にこれだけのヒントで解けといっても無理なことは十分に承知しています。しかしながら、ここで完璧な解答例を作ってもあなたのためにはなりません、もう少し自分で考えて、それでも分からないところがあれば質問してください。私を含め、このサイトの利用者はきっと適切な回答やアドバイスをすると思います。
大変でしょうが、頑張って下さい。

補足

（２）の単振り子の周期はわかったのですが、そこからどのようにして重力加速度ｇを測定する方法をどのように説明すればよいのかわかりません。