「アキレスと亀」のお話について

質問

■アキレスと亀

　アキレスはどんなに頑張って走っても、自分より先を歩む亀に追いつく
　ことができない。なぜならアキレスが亀が今いる所まで辿り着いた時、
　亀はそれより少し先まで行っている。アキレスがその地点まで行った時
　には、亀はまた更にその少し先まで行っている。アキレスがその地点まで
　行った時には、亀はまた更にその少し先まで行っている。アキレスがその
　地点まで行った時には、亀はまた更にその少し先まで行っている。。。。
　ということで、アキレスは永久に亀に追いつけないのである。

これがどういうお話なのか理解できません。いつかアキレスは亀を追い越すと思うのですが・・・。

回答No.12

wolv · ベストアンサー

アキレスと亀について言えば、
　　…亀はまた更にその少し先まで行っている…
この部分は、まあ、これでいいんですが、
　　…ということで、アキレスは永久に…
ここが間違っているわけです。

Ｎｏ８の回答の数値を使い、さらに、アキレスと亀の速度を仮に、秒速１０ｍ、秒速１ｍとすると、

はじめに亀がいたところまでアキレスが移動するのにかかる時間は、
（アキレスが１０ｍ移動するので、）
　　１０ｍ　÷（１０ｍ／秒）＝　１秒
次の時点までは、
　　１ｍ　÷（１０ｍ／秒）＝　０．１秒
その次までは、
　　０．１ｍ　÷（１０ｍ／秒）＝　０．０１秒
このように、どんどん細かく考えていくと、
確かに、「どんなに考えても、アキレスが亀に追いつくところまでは考えられない。」ということになります。しかし、実際に経過している「アキレスと亀の時間」は、
　　１秒　＋　０．１秒　＋　０．０１秒　＋　…
　　＝　１．１１１１１１１１…　秒
という有限の時間です。つまり、元の「アキレスと亀の話」の前半部分で言っていることの意味を、分かりやすく翻訳して、元の文を書くと、

　　ある有限の時間ではアキレスは亀に追いつかない。
　　よって、アキレスは永久に亀に追いつけないのである。

となります。こうすると、「よって…」の部分がまちがっているのがわかりますよね。

アキレス・亀の速度・はじめの両者の距離を適当な文字で置くことで、１００ｍ・１０ｍ／秒・…などの特定の値以外の場合でも、ここまでに書いたことが成り立つように証明できると思いますが、そこはこの回答では省略させていただきます。

お礼

お返事どうもありがとうございます！ちょっとお聞きしたいのですが、

＞実際に経過している「アキレスと亀の時間」は、
　　１秒　＋　０．１秒　＋　０．０１秒　＋　…
　　＝　１．１１１１１１１１…　秒
という有限の時間です。

その「・・・」には、ずーーっと１が続くわけですよね？それって無限なんじゃないでしょうか？でも考えてみると２秒にはなりませんね。そう考えると有限かな？

１０メートル離れてて、アキレスが秒速１０メートル、亀が１メートルとすると、一秒で亀とアキレスは９メートル縮まるから、それを式に直すと10/9=１，１１１１・・・ですね。おぉこれはやはり小数点はずーと続くけど分数の形だと表すと思いっきり定数ですね。わかりました！どうもありがとうございます。算数みたいに10÷9なんして答え出すとこからは出てこない発想ですね。おかげさまで矛盾点がわかったので良かったです。

回答No.2

marimo_cx

＞ 亀はそれより少し先まで行っている

このパラドックスでは『少し』というような定量をしてしまうと
破綻してしまうのです。

逃げていく亀をウサギが追いかける、スタートした瞬間の亀の位
置にウサギが到着した時には亀はその前にいる、ウサギは更に亀
を追いかけるがさっき亀のいた位置にたどり着いた時には亀は更
に前にいる…………

というわけで追いつけないというお話です。
速度を存在しないものとして考えてみましょう。
# 実際にそうなるかということではないですので。

お礼

＞# 実際にそうなるかということではないですので。

そうなんですか！？ってそうですよね。う～ん、、、、。
難しいですね。。。。

回答No.1

blue_leo

http://www.goo.ne.jp
はご存知ですか？
「アキレスと亀」
で検索したところ多数のパラドックス解法のページがヒットしました。
お好きなものをどうぞ。

http://www.goo.ne.jp/default.asp?MT=%A5%A2%A5%AD%A5%EC%A5%B9%A4%C8%B5%B5&act.search=%A1%A1%B8%A1%BA%F7%A1%A1&top=gtop&_v=2

参考URL：

http://www.goo.ne.jp/default.asp?MT=%A5%A2%A5%AD%A5%EC%A5%B9%A4%C8%B5%B5&act.search=%A1%A1%B8%A1%BA%F7%A1%A1&top=gtop&_v

お礼

お返事どうもです。もちろん初めに検索しましたよ。でもみんな同じことばっかり書いてあって肝心の理解ができませんでした。なので、質問しようと思ったわけです。